第13讲 方程与不等式解应用题（二）

晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购$A$、$B$两种型号的轿车，用$300$万元可购进$A$型轿车$10$辆，$B$型轿车$15$辆；用$300$万元也可以购进$A$型轿车$8$辆，$B$型轿车$18$辆．

⑴求$A$、$B$两种型号的轿车每辆分别为多少元？

⑵若该汽车销售公司销售$1$辆$A$型轿车可获利$8000$元，销售$1$辆$B$型轿车可获利$5000$元，该汽车销售公司准备购进$A$、$B$两种型号轿车共$32$辆．在符合客户需求与成本的前提下，有三种购车方案．

方案①：购进$A$型号轿车$18$辆，购进$B$型号轿车$14$辆；

方案②：购进$A$型号轿车$19$辆，购进$B$型号轿车$13$辆；

方案③：购进$A$型号轿车$20$辆，购进$B$型号轿车$12$辆．

通过计算说明，如果你是老板，你会选择哪个方案．

某品牌旗下一茶厂有采茶工人$30$人，每人每天采鲜茶叶“瓜片”$20$千克或鲜茶叶“毛尖”$5$千克．已知生产每千克成品茶叶所需鲜茶叶和销售每千克成品茶叶所获利润如下表：

⑴若安排$x$人采“瓜片”，则可采鲜茶叶“瓜片”_______千克，成品茶叶为_______千克，采鲜茶叶“毛尖”_______千克，成品茶叶为_______千克．（无需化简）

⑵根据市场销售行情，该茶厂的生产能力是每天生产成品茶叶不少于$100$千克且不超过$110$千克，如果每天生产的茶叶全部销售，根据题意可列不等式组：$\{\begin{array}{c}\frac{20x}{4}+\frac{5\left(30-x\right)}{5}\le 110\\ \frac{20x}{4}+\frac{5\left(30-x\right)}{5}\ge 100\end{array}$，解得$17.5\le x\le 20$，说明分配采茶工人共有$3$种方案：

方案一：$18$人采“瓜片”，$12$个人采“毛尖”，此时获得利润为________元；

方案二：$19$人采“瓜片”，$11$个人采“毛尖”，此时获得利润为________元；

方案三：$20$人采“瓜片”，$10$个人采“毛尖”，此时获得利润为________元．

可以发现，方案________利润最大．

方案制定

第二类最优化方案问题是只给定了大致的范围，那么需要利用方程和不等式找到可能的方案，最后再利用不等式找到所有情况中的最优解．

为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m²，该村农户共有492户．

⑴设建造A型沼气池$x$个，则建造B型沼气池$(20-x)$个，

依题意可列出不等式组为：___________________________，解得________$\le x\le$________．

因为$x$为整数，所以$x$的值为________，所以满足条件的方案有________种．

⑵根据⑴中的信息，写出所有的方案，且哪个方案最省钱？

某市一果农收获荔枝$30$吨，香蕉$13$吨，现计划租用甲、乙两种货车共$10$辆将这批水果全部运往上海，已知甲种货车可装荔枝$4$吨和香蕉$1$吨，乙种货车可装荔枝香蕉各$2$吨，

⑴该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．

⑵若甲种货车每辆要付运输费$2000$元，乙种货车每辆要付运输费$1300$元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？

为加快教学手段现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价为每台$5800$元，优惠条件是购买$10$台以上则从第$11$台开始可按报价的$70\mathrm{\%}$计算，乙公司的报价也是每台$5800$元，优惠条件是每台均按报价的$85\mathrm{\%}$计算，假如你是学校的负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由．

某公司有$A$型产品$40$件，$B$型产品$60$件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中$70$件给甲店，$30$件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

⑴设分配给甲店$A$型产品$x$件，则分配给甲店$B$型产品件，分乙店$A$型产品件，乙店$B$型产品件；

⑵设分配给甲店$A$型产品$x$件，这家公司卖出这$100$件产品的总利润为$W$（元），求$W$（用$x$表示）；

⑶若公司要求总利润不低于$17560$元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来．

某纺织厂有纺织工人$200$名，为拓展生产渠道，增产创收，增设了制衣车间，准备从纺织工人中抽调$x$名工人到制衣车间工作．已知每人每天平均能织布$30$米或制衣$4$件（制衣$1$件用布$1.5$米），将布直接出售，每米获利$2$元；成衣出售，每件获利$25$元．若一名工人只能从事一项工作，且不浪费工时，试解答下列问题：
⑴写出$x$的取值范围；
⑵写出一天所获总利润$W$（元）用$x$表示的表达式；
⑶当$x$取何值时，该厂一天获利最大？

某校数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：

我问开店李三公，众客都来到店中，

一房七客多七客，一房九客一房空．

诗中后两句的意思是：如果每一间客房住$7$人，那么有$7$人无房可住；如果每一间客房住$9$人，那么就空出一间房（其它房间住满人）．

⑴求该店有客房多少间？房客多少人？

⑵假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费$20$钱，且每间客房最多入住$4$人，一次性定客房$18$间以上（含$18$间），房费按$8$折优惠．如果诗中“众客”再次一起入住，要求订房更合算，请你帮他们做个方案．

某批发商欲将一批海产品由$A$地运往$B$地．汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为$120$千米，汽车和火车的速度分别为$60$千米/时，$100$千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费：

⑴设该批发商待运送的海产品有$x$（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为$y_1$（元）和$y_2$（元），试用含$x$的代数式分别表示$y_1$和$y_2$．

⑵若该批发商代运的海产品不少于$30$吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？

某种球票分两种：$A$种$600$元一张，$B$种$120$元一张，现要用不超过$5000$元的购票款，购买$A$、$B$两种票共$15$张，且要求$A$种票不少于$B$种票的一半；问：共有几种不同的购票方案？其中哪种方案最省钱？

有一些相同的房间需要粉刷，一天$3$名师傅去粉刷$8$个房间，结果其中有$40m^2$墙面未来得及刷；同样的时间内$5$名徒弟粉刷了$9$个房间的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷$30m^2$的墙面．

⑴求每个房间需要粉刷的墙面面积；

⑵已知每名师傅、徒弟每天的工资分别是$85$元、$65$元，张老板要求在$3$天内完成$36$个房间，问

如何在这$8$个人中雇用人员，才合算？

有三个量$x,y$和$z$，已知$z=xy-3x+5y$，现在发现，$x$可以取$-2$或$3$，$y$可以取$3$或$5$．

请说出当$x$和$y$分别为多少时，$z$有最大值．

根据题意有四种不同的$x,y$，将这些情况代入$z$的式子求出答案，给出的结果如下表：

某冰箱厂计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

在符合客户需求与生产能力的前提下，策划提供了三个方案，

通过计算说明：如果你是老板，你会选择哪个方案，并说明理由．

我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于$3$米／秒的时间有$160$天，其中日平均风速不小于$6$米／秒的时间有$60$天，为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用$A、B$两种型号的风力发电机．根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：

根据上面的数据回答：
⑴若这个发电场购$x$台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为________千瓦·时；
⑵已知A型风力发电机每台$0.3$万元，B型风力发电机每台$0.2$万元．该发电场拟购置风力发电机共$10$台，希望购机的费用不超过$2.6$万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于$102000$千瓦·时，请你提供所有符合条件的购机方案．

⑶在⑵的前提下，请选择耗资最少的购机方案．

为了保护环境，某企业决定购买$10$台污水处理设备，现有$A$、$B$两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费用如下表：

经预算，该企业购买的资金不高于$105$万元．

⑴若购买$A$型污水处理设备$x$台，则购买设备的总资金为多少？

⑵若企业每月生产的污水量为$2040$吨，则用多少种购买设备的方案？并选出最优方案？

⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为$10$年，污水厂处理水费为每吨$10$元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，$10$年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

2. 随着我市教育改革的不断深入，素质教育的全面推进，我市中学生利用假期参与社会实践活动调查的越来越多，张同学在我市$J$牌公司实习调查时，计划发展部给他一份实习作业：在下述条件下，规划一个月的产量：假如公司生产部有工人$200$名，每个工人的月劳动时间不超过$192$小时，生产一件$J$牌产品需要一个工人劳动$2$小时；本月将剩余原料$60$吨，下个月准备购进$300$吨，每件$J$牌产品需要原料$20$公斤；经市场调查，预计下月市场对$J$牌产品需求量为$16000$件，公司准备充分保证市场需求．请你和张同学一起规划下个月的产量范围（设下个月的产量为$x$件）

3. 某厂准备新开发一种进博会电子玩具，准备明年投产．下面是各相关部门提供信息：

人事部：明年从事该项产品生产的工人不超过$60$人，每人每年工时按$2400$小时计算；

市场部：预测明年至少能销售$1$万个；

技术部：生产1个该种电子产品平均用12个工时，且每个需安装5个某种主要部件；

供应部：今年年终将库存某种主要部件$2000$个，明年最多能采购到这种部件$80000$个．

请根据这些信息，判断该厂明年生产这种玩具的合理数量．