第9讲不等式与不等式组综合

知识模块 01 · 原讲小节

不等式的基本性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．

基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

基本性质4：不等式的互逆性和传递性．

一元一次不等式的解法

去分母→去括号→移项→合并同类项（化成 $a x < b$ 或 $a x > b$ 形式）→系数化为 $1$ （化成 $x > \frac{b}{a}$ 或 $x < \frac{b}{a}$ 的形式）．

注意

⑴ 在去分母时，不等号两边各项都要乘以同一个数，不要漏乘不带分母的项；

⑵ 移项时不要忘记变号；

⑶ 去括号要注意各项的符号变与不变；

⑷ 在去分母或系数化为 $1$ 时，若不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．

题目SH-032-001

解一元一次不等式组的步骤：

⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；

⑵ 利用数轴找出这些不等式的解集的公共部分，即为这个不等式组的解集．

一元一次不等式的特殊解：

不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求整数解、正整数解、非负整数解、最大正数解等，解答这类问题关键是明确解的特征．

题目SH-032-002难度 A · 基础

⑴ 已知 $(k + 3) x^{2} > x^{| k | - 2} - 2 k$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，求该不等式的解集．

⑵ 已知 $2 (x - 3) \leq m x^{2} + n x - 1$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，求 $m$ 、 $n$ 的取值范围．

题目SH-032-003难度 C · 综合

解下列不等式：

⑴ $\frac{1 - x}{2} + \frac{2 x + 1}{3} < 1$ ；　　　　　　　 ⑵ $\frac{2 - 3 x}{4} - \frac{x - 5}{4} > \frac{- 4 x + 1}{6} + \frac{2}{3}$ ．

解下列不等式：

⑴ $\frac{2 x - 3}{3} - \frac{3 x + 1}{4} < \frac{2 x + 1}{6} - 1$ ； ⑵ $\frac{1}{6} (7 x - 2) - \frac{3 x - 1}{2} - \frac{1 + 2 x}{3} > 1$ ．

题目SH-032-004难度 C · 综合

⑴ $\frac{4 x - 1.5}{0.5} - \frac{5 x - 0.8}{0.2} > \frac{1.2 - x}{0.1}$ ； ⑵ $(3 - x) - {5 + [2 x - (x + 1)]} < 1$

题目SH-032-005难度 C · 综合

解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{7 - x}{2} - 3 \geq \frac{3 + 4 x}{5} - 4 \\ \frac{5}{3} x + 5 (4 - x) \leq 2 (4 - x) \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 1 < \frac{2 x - 5}{3} < 3 \\ \frac{1 + x}{2} < 4 (2 x - 3) \\ x + 5 - \frac{2}{3} \geq 2 x - \frac{3}{2} \end{matrix}$ ．

特殊解问题

题目SH-032-006难度 B · 巩固

求同时满足不等式 $6 x - 2 > 3 x - 4$ 和 $\frac{x}{4} - 1 \leq 2 - \frac{x}{2}$ 的整数 $x$ 的值．

题目SH-032-007难度 C · 综合

若关于 $x$ 的方程 $3 (x - 2 a) = 4 a - 5 (x - 4)$ 的解，与不等式 $\frac{x + 5}{3} - 1 < \frac{3 x + 2}{2}$ 的最小整数解的值相同，求 $a$ 的取值．

已知不等式 $3 (5 x + 2) + 5 < 4 x - 6 (x + 1)$ 的最大整数解为方程 $x + 2 m = 4 (x + 1) + 1$ 的解，求 $4 m - \frac{14}{3 m}$ 的值．

题目SH-032-008难度 D · 提升

⑴ 当 $m$ 为何正整数时，关于 $x$ 的方程 $x - \frac{x - m}{2} = \frac{2 - x}{3}$ 的解为非负数．

⑵ 若关于 $m$ 的方程 $\frac{5 x - 3 m}{4} = \frac{m}{2} + \frac{15}{4}$ 的解为非正数，则正整数 $x$ 的值是多少？

题目SH-032-009难度 C · 综合

已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = 1 \\ x - 2 y = m \end{matrix}$ ．

⑴ 求这个方程组的解；

⑵ 当 $m$ 取何值时，这个方程组的解中， $x$ 大于 $1$ ， $y$ 不小于 $- 1$ ．

已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2016 x + 2015 y = p + 1 \\ 2017 x + 2016 y = p - 1 \end{matrix}$ ，满足 $x > y$ ,求 $p$ 的取值范围．

题目SH-032-010难度 D · 提升

常数 $a$ 取何值时，不等式组 ${\begin{matrix} \frac{3}{4} [\frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{3}] \geq 2 \\ x - a < 0 \\ \frac{1}{2} - \frac{x - 1}{2} > - 1 \end{matrix}$ 有解？

题目SH-032-011难度 D · 提升

已知关于 $x$ 的不等式 $- 0.5 \times [- \frac{1}{3} (\frac{3 x - 1}{4} - a + 4) - a + 3] \leq 2.5$ 有三个正整数解，则 $a$ 的取值范围是多少？

题目SH-032-012

解不等式组：

${\begin{matrix} 2 (x - 1) - 0.7 (3 x - 2) < 25 % \\ \frac{0.1 x - 0.2}{0.2} - \frac{0.02 x + 0.03}{0.07} < - 2 \end{matrix}$ ．

题目SH-032-013

$a$ 取哪些负整数值时，关于 $x$ 的方程组 ${\begin{matrix} 4 x + 3 y = a - 1 \\ 3 x + 2 y = a + 1 \end{matrix}$ 的解满足 $y < x$ ？

题目SH-032-014

已知关于 $x$ 的方程 $5 x - 2 k = - x + 4$ 的解大于 $1$ ，且不大于 $3$ ，满足 $k$ 为整数，则 $k$ 等于．

题目SH-032-015

当 $k$ 取何整数时，关于 $x$ 的方程 $5 x - 2 k = - x + 4$ 的解介于 $1$ 和 $3$ 之间？

题目SH-032-016

若不等式 $\frac{x + 1}{3} - \frac{5}{6} < \frac{x - 1}{2} + \frac{2}{3}$ 的最小整数解是方程 $\frac{1}{3} x - a x = 5$ 的解，求式子 $a^{2} - 2 a - 11$ 的值．

题目SH-032-017

⑴ 已知 $(a + 2) x^{a^{2} - 3} - 2 k < 3$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，求 $a$ 的取值．

⑵ 已知 $2 - 3 x \leq a x^{2} + b x - 1$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，求 $a$ 、 $b$ 的取值范围．

题目SH-032-018

解不等式：

⑴ $\frac{1}{2} (x - 1) < \frac{1}{3} - 2 x$ ；⑵ $\frac{3 (x + 1)}{8} + 2 < 3 - \frac{x - 1}{4}$ ；

⑶ $\frac{0.4 x + 0.9}{0.5} - \frac{0.03 + 0.02 x}{0.03} > \frac{x - 5}{2}$ ．

题目SH-032-019

解下列不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 - x > 0 \\ \frac{5 x + 1}{2} + 1 \geq \frac{2 x - 1}{3} \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 2 x - 3 \leq x + 2 \\ \frac{x}{4} - \frac{3 x - 1}{2} \leq 2 - \frac{x}{3} \end{matrix}$ ．

题目SH-032-020

求不等式组 ${\begin{matrix} 2 (x - 4) > 4 - 3 x \\ - \frac{1}{3} - 2 x < 2 - \frac{1 + 7 x}{3} \end{matrix}$ 的整数解．
⑴ 方程 $2 x - 7 = 2 a - 6 x$ 的解 $x$ 为非负数时，负整数 $a$ 有（）个．

A． $1$ B． $2$ C． $3$ D． $4$

⑵ 不等式 $x - \frac{3 x - 5}{2} \geq \frac{10 - x}{7} + \frac{3 - x}{2}$ 的最小整数解是关于 $x$ 的方程 $8 (x + a) - 3 a x = 23$ 的解，则参数 $a$ 的值是．

题目SH-032-021

已知：关于 $x$ 的方程 $\frac{x + m}{3} - \frac{2 x - 1}{2} = m$ 的解不小于 $- 3$ ，求 $m$ 的非负整数解．　

题目SH-032-022

解不等式：

⑴ $\frac{3 x - 2}{3} - \frac{9 - 2 x}{3} \leq \frac{5 x + 1}{2}$ ；

⑵ $\frac{3 x - 1}{2} - \frac{5 - 2 x}{3} \leq \frac{5 x + 3}{4} - 2$ ．

题目SH-032-023

解不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} 2 x + 1 > x - 1 \\ 2 (3 x - 1) - 3 (8 x - 5) \leq x - 4 (x - 7) \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} \frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1 + \frac{x}{6} \\ 3 [x - 2 (x - 2)] > x - 3 (x - 3) \end{matrix}$ ．

题目SH-032-024

解不等式：

⑴ $2 x + 3 \leq 3 - x < 5 x + 18$ ；

⑵ $3 x \leq \frac{1 - 2 x}{2} < 5$ ．

题目SH-032-025

当 $a$ 为何正整数时，关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 ${\begin{matrix} x + y = 12 + a \\ x - y = - 4 - 3 a \end{matrix}$ 的解都是正数？

题目SH-032-026

解不等式

⑴ $\frac{4}{3} x - 4 (1 - x) < 32 (\frac{1}{6} x - 2)$ ；

⑵ $\frac{1}{2} [x - \frac{1}{2} (x + 1)] \leq \frac{2}{5} (x - 1)$ ．

题目SH-032-027

解不等式组：

⑴ ${\begin{matrix} \frac{x - 7}{15} > \frac{x - 2}{5} \\ \frac{1}{2} x - 1 \geq 3 - \frac{1}{2} x \end{matrix}$ ； ⑵ ${\begin{matrix} 5 x + 1 > 2 (x - 4) \\ \frac{1}{4} x - 2 \leq \frac{3 x + 1}{2} \end{matrix}$ ．

题目SH-032-028

解不等式 $3 \leq \frac{1 - 2 x}{2} < 5$ 的整数解．
已知方程组 ${\begin{matrix} x + y = - 7 - a \\ x - y = 1 + 3 a \end{matrix}$ 的解 $x$ 为非正数， $y$ 为负数，求 $a$ 的取值范围．
已知二元一次方程 $3 x + 7 y = - 24$ 的负整数解也满足方程 $2 x - 3 y = 2 k - 5$ ，求 $k$ 的值．

题目SH-032-029

解不等式

⑴ $- 6 x - \frac{1}{2} (1 + \frac{x}{3}) - \frac{1}{3} (2 - \frac{x}{4}) \geq 5$ ；

⑵ $x - \frac{3 x - 8}{2} + 1 \geq \frac{2 (10 - x)}{7}$ ．

题目SH-032-030

解不等式组

⑴ ${\begin{matrix} \frac{3 x - 7}{5} \geq \frac{x - 2}{2} \\ \frac{x}{4} - \frac{2 x - 1}{12} > \frac{1}{6} - \frac{x}{3} \end{matrix}$ ；

⑵ ${\begin{matrix} 4 x - 3 \leq 3 x - 2 \\ \frac{x - 1}{6} - \frac{3 x - 1}{2} < \frac{11}{3} - \frac{x}{2} \end{matrix}$ ．

题目SH-032-031

已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} [x - 2 (x + 3)] \leq - 2 - \frac{2}{3} x$ ，化简 $| x - 7 | - | 6 - x |$ ．
求不等式 $\frac{1}{7} (8 - 2 x) - \frac{3 x - 1}{5} < 4$ 的负整数解．
当 $k$ 为何负整数时，方程组 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y = k + 1 \\ 4 x + 3 y = k - 1 \end{matrix}$ 的解满足 $x > y$ ．