几何1-几何初步 · 第 100 讲

第8讲平行线性质和判定

33 道题3 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

平行线的性质和判定

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

平行线

同一平面内不相交的两条直线叫做平行线（parallel line）．平行用符号“ $/ /$ ”表示．

直线 $a$ 和直线 $b$ 是平行线，也称它们互相平行，记作“ $a / / b$ ”，读作“ $a$ 平行于 $b$ ”．

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
平行线性质定理：

两直线平行，同位角相等．

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

两直线平行，内错角相等．

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．

两直线平行，同旁内角互补．

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

平行线间距离处处相等．

两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这

个定值叫做这两条平行线间的距离．

知识模块 02 · 原讲小节

平行线判定定理

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

同位角相等，两直线平行．

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

内错角相等，两直线平行．

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

同旁内角互补，两直线平行．

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

（平行公理的推论）平行于同一条直线的两条直线平行．

（也可称为“平行的传递性”）

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．

题目SH-100-001难度 B · 巩固

⑴下列图形中，由 $A B / / C D$ ，能得到 $∠ 1 = ∠ 2$ 的是（）.

A. img src="media/image13.png" style="width:1.32145in;height:0.89965in" /> B.

C. img src="media/image15.png" style="width:1.55188in;height:0.9469in" /> D.

⑵如图 $1$ ，已知 $a / / b$ ， $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ 2 = 40 °$ ，则 $∠ 3 =$ （）.

A. $40 °$ B. $60 °$ C. $70 °$ D. $80 °$

⑶如图 $2$ ，已知 $∠ 2 = ∠ 6$ ，下列结论正确的是（）.

A. $A B / / C D$ B. $A D / / B C$ C. $∠ 1 = ∠ 5$ D. $∠ 4 = ∠ 8$

⑷如图 $3$ ，下列推理过程正确的个数有（）.

① ∵ $∠ A B C = ∠ B C D$ ，∴ $A B ∥ C D$

② ∵ $∠ A B E = ∠ F C D$ ，∴ $E B ∥ C F$

③ ∵ $∠ E B C = ∠ F C B$ ，∴ $E B ∥ C F$

④ ∵ $∠ A B E = ∠ F C D$ ，∴ $A B ∥ C D$

A. $1$ 个B. $2$ 个C. $3$ 个D. $4$ 个

题目SH-100-002难度 C · 综合

⑴如图 $1$ ， $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ 2 = 65 °$ ， $A B / / D C$ ，则 $∠ A D C =$ ， $∠ A =$ .

⑵如图 $2$ ， $A$ 、 $P$ 、 $B$ 三点共线， $∠ C A B = 100 °$ ， $∠ A B F = 110 °$ ， $A C / / P D$ ， $B F / / P E$ ，则 $∠ D P E =$ .

⑶如图 $3$ ， $O E$ 是 $∠ A O B$ 的平分线， $C D / / O B$ 交 $O E$ 于 $D$ ， $∠ O C D = 130 °$ ，

则 $∠ C D E =$ .

⑷如图 $4$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 内一点， $O D / / A B$ ， $O E / / B C$ ， $O F / / A C$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 75 °$ ，

则 $∠ D O E =$ ， $∠ E O F =$ ， $∠ F O D =$ .

题目SH-100-003难度 A · 基础

⑴如图 $1$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ B = ∠ D$ ，请说明 $∠ 1 = ∠ 2$ .请你完成下列填空，把解答过程补充完整.

证明：∵ $A B ∥ C D$ ，（）．

∴ $∠ B A D + ∠ D = 180 °$ （）．

∵ $∠ B = ∠ D$ ，

∴ $∠ B A D +$ $= 180 °$ （等量代换）．

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

∴ $∠ 1 = ∠$ （）．

⑵如图 $2$ ，已知 $D E ∥ A C$ ， $D F ∥ A B$ ，求 $∠ A + ∠ B + ∠ C$ 度数.

解：∵ $D E ∥ A C$ （）.

∴ $∠ C =$ （）.

$∠ 3 =$ （）.

∵ $D F ∥ A B$ （）.

∴ $∠ B =$ （）.

$∠ A =$ （）.

∴ $∠ A = ∠ 3$ （　） .

∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ B D C =$ （）.

题目SH-100-004难度 C · 综合

如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ C N F = ∠ B M E$ ，

求证： $A B / / C D$ ， $M P / / N Q$ ．

题目SH-100-005难度 C · 综合

如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ C = ∠ D$ ，求证： $∠ A = ∠ F$ .

题目SH-100-006难度 C · 综合

如图，已知 $E F$ 平分 $∠ A E C$ ， $∠ D A C = ∠ A E D$ ， $∠ A C B = ∠ C E D ，$ $∠ D A B = ∠ B C D$ ．

求证： $A D ∥ B C$ ， $A B ∥ C D$

知识模块 03 · 原讲小节

平行线中的常用模型

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题目SH-100-007

已知直线 $A B / / C D$ ，点 $P$ 为 $A B$ 与 $C D$ 内部一点，联结 $B P$ 、 $D P$ ，构成了如图 $1$ 所示的一个锯齿状图形，形成了三个角，我们可以得到这样一个结论： $∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2$ ．

这个结论作为一个基本小模型，可以直接应用在很多求角度的题目中，所以我们干脆给它起个比较形象的名字，叫做猪蹄模型．

$333.png$

图 $1$

前提：存在一组平行线；关键：过拐点做平行
结论：

①凹角之和=凸角之和． $n$ 角之和= $(n - 1) \cdot 180 °$ ．

②注意：在选择题和填空题中可以直接运用猪蹄结论；若在证明题中运用，请先证明．

题目SH-100-008难度 B · 巩固

（1）如图 $1$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

（2）如图 $2$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

（3）如图 $3$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

（4）如图 $4$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

题目SH-100-009难度 C · 综合

如图，已知 $A B / / C D$ ， $∠ E A F = \frac{1}{4} ∠ E A B$ ， $∠ E C F = \frac{1}{4} ∠ E C D$ ，求证： $∠ A F C = \frac{3}{4} ∠ A E C$ .

题目SH-100-010难度 C · 综合

如图，直线 $A B / / C D$ ， $∠ E F A = 30 °$ ， $∠ F G H = 90 °$ ， $∠ H M N = 30 °$ ， $∠ C N P = 50 °$ ，求 $∠ G H M$ 的度数.

题目SH-100-011

如图， $B E ∥ C D$ ， $∠ E B F = 140 °$ ， $∠ B F D = 60 °$ ，则 $∠ D =$ ．

题目SH-100-012

如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ，那么 $∠ B C E$ 等于（）

A. $∠ 1 + ∠ 2$ B. $∠ 2 - ∠ 1$

C. $180 ° - ∠ 2 + ∠ 1$ D. $180 ° - ∠ 1 + ∠ 2$

题目SH-100-013

如图，已知 $A B ∥ C D$ ，那么 $∠ A + ∠ E + ∠ F + ∠ C =$ 度．

题目SH-100-014

已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $C M$ 平分 $∠ B C D$ ， $C N ⊥ C M$ ，若 $∠ N C E = 36 °$ ，则 $∠ B =______°$ ．

题目SH-100-015

如图，在下列给出的条件中，能判定 $D E ∥ A C$ 的是（）

A. $∠ 1 = ∠ 4$ B. $∠ 1 = ∠ A$ C. $∠ A = ∠ 3$ D. $∠ A + ∠ 2 = 180 °$

题目SH-100-016

如图， $A B ∥ C D$ ， $E F$ 为截线．

与 $∠ 1$ 相等的角为；与 $∠ 1$ 互补的角为．

与 $∠ 8$ 相等的角为；与 $∠ 8$ 互补的角为．

题目SH-100-017

如图所示，已知 $D E / / B C$ ， $C D$ 是 $∠ A C B$ 的平分线，求证： $D E = C E$ ．

题目SH-100-018

如图，根据下列条件，可以分别判定哪两条直线平行？并说明判定的依据．

① $∠ 1 = ∠ C$ ； ② $∠ 2 = ∠ 4$ ； ③ $∠ 2 + ∠ 5 = 18 0^{\circ}$ ； ④ $∠ 3 = ∠ B$ ;　 ⑤ $∠ 6 = ∠ 2$ ．

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题目SH-100-019

如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截， $∠ E M P = ∠ P M B$ ， $∠ E N Q = ∠ Q N D$ ，

且 $∠ E M P = ∠ Q N D$ ．求证：（1） $M P / / N Q$ ；（2） $A B / / C D$ ．

题目SH-100-020

如图，已知 $A B / / C D$ ， $∠ 1 : ∠ 2 : ∠ 3 = 1 : 2 : 3$ ，求证： $A B$ 平分 $∠ E B F$ ．

（1）如图 $1$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

（2）如图 $2$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

（3）如图 $3$ ， $A B / / C D$ ，则 $x =$ .

题目SH-100-021

下列说法中：

⑴不相交的两条直线叫做平行线；

⑵经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

⑶垂直于同一条直线的两直线平行；

⑷直线 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ；

⑸两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

其中正确的是　　．

在同一平面内有 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ，…， $a_{97}$ 共 $97$ 条直线，如果 $a_{1} ∥ a_{2}$ ， $a_{2} ⊥ a_{3}$ ， $a_{3} ∥ a_{4}$ ， $a_{4} ⊥ a_{5}$ ， $a_{5} ∥ a_{6}$ ， $a_{6} ⊥ a_{7}$ ，…，那么 $a_{1}$ 与 $a_{97}$ 的位置关系是 .
如图， $a / / b$ ， $O A ⊥ O B$ ， $∠ 2 = 55 °$ ，则 $∠ 1 =$ 　　．

题目SH-100-022

已知：如图所示， $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = 110 °$ ， $∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ α =$ ____

题目SH-100-023

⑴如图 $1$ ， $M A_{1} / / N A_{2}$ ，则 $∠ A_{1} + ∠ A_{2} =$ ________．

⑵如图 $2$ ， $M A_{1} / / N A_{3}$ ，则 $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + ∠ A_{3} =$ ________．

⑶如图 $3$ ， $M A_{1} / / N A_{4}$ ，则 $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + ∠ A_{3} + ∠ A_{4} =$ ________．

⑷如图 $4$ ， $M A_{1} / / N A_{5}$ ，则 $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + ∠ A_{3} + ∠ A_{4} + ∠ A_{5} =$ ________．

⑸从上述结论中你发现了什么规律？

如图 $5$ ， $M A_{1} / / N A_{n}$ ，则 $∠ A_{1} + ∠ A_{2} + ∠ A_{3} + \dots + ∠ A_{n} =$ ________．

　　　图 $1$ 图 $2$ 图 $3$

　　　图 $4$ 图 $5$

⑹利用上述结论解决问题：

如图，已知 $A B / / C D$ ， $∠ A B E$ 和 $∠ C D E$ 的角平分线相交于 $F$ ， $∠ E = 140 °$ ，求 $∠ B F D$ 的度数．

题目SH-100-024

如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，且分别与直线 $l$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，把一块含 $30 °$ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 58 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为　　．

题目SH-100-025

已知如图所示， $A B ∥ D E$ , $∠ D = 116 °$ ， $∠ D C B = 93 °$ ，求 $∠ B$ 的度数.

题目SH-100-026

如图，若 $A B ∥ C D$ , $∠ B E F = 70 °$ ，则 $∠ B + ∠ F + ∠ C$ 的度数为（）

$A$ . $215 °$ $B$ . $250 °$ $C$ . $320 °$ $D$ . $360 °$

题目SH-100-027

如图所示，若 $A B ∥ C D$ ，则角 $α ， β ， γ$ 的关系为( )

$A$ ． $α + β + γ = 360 °$ $B$ . $α - β + γ = 180 °$

$C$ ． $α + β + γ = 180 °$ $D$ . $α + β - γ = 180 °$

题目SH-100-028

完成下面的证明：

如图， $B E$ 平分 $∠ A B D$ ， $D E$ 平分 $∠ B D C$ ，且 $∠ α + ∠ β = 90 °$ ，求证： $A B / / C D$ ．

证明： $∵ B E$ 平分 $∠ A B D$ $($ 　已知　 $)$

$∴ ∠ A B D = 2 ∠ α$ $($ 　　 $)$

$∵ D E$ 平分 $∠ B D C$ （已知）

$∵ ∠ B D C =$ 　　 $($ 　　 $)$

$∴ ∠ A B D + ∠ B D C = 2 ∠ α + 2 ∠ β = 2 (∠ α + ∠ β)$ $($ 　　 $)$

$∵ ∠ α + ∠ β = 90 °$ （已知）

$∴ ∠ A B D + ∠ B D C = ($ 　　 $)$

$∴ A B / / C D$ $($ 　　 $)$

题目SH-100-029

如图，已知直线 $a / / b / / c$ ， $△ A B C$ 的顶点 $B$ 、 $C$ 分别在直线 $b$ 、 $c$ 上，如果 $∠ A B C = 60 °$ ，边 $B C$ 与直线 $b$ 的夹角 $∠ 1 = 25 °$ ，那么边 $A B$ 与直线 $a$ 的夹角 $∠ 2 =$ 　　．

题目SH-100-030

我们知道，光线从空气摄入水中会发色很那个折射现象.光线从水射入空气中，同样也会发生折射现象.如图，为光线从空气射入水中，再从水射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此有 $∠ 1 = ∠ 4$ ， $∠ 2 = ∠ 3$ ．请你用所学的知识来判断光线 $c$ 与 $d$ 是否平行？并说明理由.

题目SH-100-031

如图，一条公路修在湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角 $∠ A$ 是 $12 0^{\circ}$ ，第二次拐的角 $∠ B$ 是 $150 °$ ，第三次拐的角是 $∠ C$ ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求 $∠ C$ 的大小.

题目SH-100-032

已知 $∠ A$ 与 $∠ B$ 的两边一边平行，另一边垂直，且 $2 ∠ A - ∠ B = 21 °$ ，则 $∠ A =$ 　　．

如图，已知 $A C ⊥ A E$ ， $B D ⊥ B F$ ， $∠ 1 = 35 °$ ， $∠ 2 = 35 °$ ． $A C$ 与 $B D$ 平行吗？ $A E$ 与 $B F$ 平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．

解： $∵ ∠ 1 = 35 °$ ， $∠ 2 = 35 °$

$∴ ∠ 1 = ∠ 2 ($ 　等量代换　 $)$ ；

$∴ ($ 　　 $) / / ($ 　　 $) ($ 　　 $)$ ；

又 $∵ A C ⊥ A E$

$∴ ∠ E A C = 90 °$ ；

$∴ ∠ E A B = ∠ E A C + ∠ 1 = ($ 　　 $) ($ 　　 $)$ ；

同理可得 $∠ F B D + ∠ 2 = ($ 　　 $)$

$∴ ($ 　　 $) / / ($ 　　 $) ($ 　　 $)$

题目SH-100-033

如图，已知 $A F / / C D$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ E$ ，求证： $B C / / E F$ ．