第3讲 相似三角形的存在性问题

如图，平面直角坐标系内直线$y=x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$，点$C$是线段$OB$的中点．

⑴求直线$AC$的表达式；

⑵若抛物线$y=a{x}^2+bx+c$经过点$C$，且其顶点位于线段$OA$上（不含端点$O$、$A)$．

①用含$b$的代数式表示$a$，并写出$\frac{1}{b}$的取值范围；

②设该抛物线与直线$y=x+4$在第一象限内的交点为点$D$，试问：$△DBC$与$△DAC$能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．

【$2021$浦东】

二次函数$y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$的图像经过点$A\left(2,4\right)$，$B\left(5,0\right)$和$O\left(0,0\right)$．

⑴求二次函数的解析式；

⑵联结$AO$，过点$B$作$BC\perp AO$于点$C$，与该二次函数图像的对称轴交于点$P$，联结$AP$，求$\angle BAP$的余切值；

⑶在⑵的条件下，点$M$在经过点$A$且与$x$轴垂直的直线上，当$△AMO$与$△ABP$相似时，求点$M$的坐标．

在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=a{x}^2+bx+1$与$y$轴交于点$A$，顶点$B$的坐标为$(2,-1)$．

⑴直接写出点$A$的坐标，并求抛物线的表达式；

⑵设点$C$在$x$轴上，且$\angle CAB=90°$，直线$AC$与抛物线的另一个交点为点$D$．

①求点$C$、$D$的坐标；

②将抛物线$y=a{x}^2+bx+1$沿着射线$BD$的方向平移：平移后的抛物线顶点仍在线段$BD$上；点$A$的对应点为点$P$．设线段$AB$与$x$轴的交点为点$Q$，如果$△ADP$与$△CBQ$相似，求点$P$的坐标．

【$2021$杨浦】

如图，已知在$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=BC=4$，点$D$为边$BC$上一动点（与点$B$、$C$不重合），点$E$为边$AB$上一点，$\angle EDB=\angle ADC$，过点$E$作$EF\perp AD$，垂足为点$G$，交射线$AC$于点$F$．

⑴如果点$D$为边$BC$的中点，求$\angle DAB$的正切值；

⑵当点$F$在边$AC$上时，设$CD=x$，$CF=y$，求$y$关于$x$的函数解析式及定义域；

⑶联结$DF$，如果$△CDF$与$△AGE$相似，求线段$CD$的长．

图$1$ 图$2$ 备用图

1、⑴如图，在矩形$ABCD$中，$AB=2$，$BC=3$，点$E$、$F$分别在$AD$、$BC$上，矩形$CDEF$与矩形$ABCD$相似，那么$ED$的长为________．

⑵如图，$OC\perp OA$，$OB=4$，$OC=2$，$OA=1$，在直线$AC$上是否存在点$M$，使以$A$、$B$、$M$为顶点的三角形与$△AOC$相似，若不存在，请说明理由；若存在，请求出$AM$的值．

2、在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^2+bx+c$经过点$A(-4,0)$和$B(2,6)$，其顶点为$D$．

⑴求此抛物线的表达式；

⑵求$△ABD$的面积；

⑶设$C$为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点$C$作$CH\perp x$轴，垂足为点$H$，如果$△OCH$与$△ABD$相似，求点$C$的坐标．

3、已知平面直角坐标系$xOy$（如图），双曲线$y=\frac{k}{x}\left(k\ne 0\right)$与直线$y=x+2$都经过点$A\left(2,m\right)$．

⑴求$k$与$m$的值；

⑵此双曲线又经过点$B\left(n,2\right)$，过点$B$的直线$BC$与直线$y=x+2$平行交$y$轴于点$C$，联结$AB$、$AC$，求$△ABC$的面积；

⑶若⑵的条件下，设直线$y=x+2$与$y$轴交于点$D$，在射线$CB$上有一点$E$，如果以点$A$、$C$、$E$所组成的三角形与$△ACD$相似，且相似比不为$1$，求点$E$的坐标．

3、已知锐角$\angle MBN$的余弦值为$\frac{3}{5}$，点$C$在射线$BN$上，$BC=25$，点$A$在$\angle MBN$的内部，且$\angle BAC=90°$，$\angle BCA=\angle MBN$．过点$A$的直线$DE$分别交射线$BM$、射线$BN$于点$D$、$E$．点$F$在线段$BE$上（点$F$不与点$B$重合），且$\angle EAF=\angle MBN$．联结$DF$，当$△ADF$与$△ACE$相似时，请直接写出$BD$的长．

4、已知：矩形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示，$A(6,0)$，$C(0,3)$，直线$y=\frac{3}{4}x$与$BC$边交于$D$点．

⑴求$D$点的坐标；

⑵若抛物线$y=a{x}^2+bx$经过$A$、$D$两点，求此抛物线的表达式；

⑶设⑵中的抛物线的对称轴与直线$OD$交于点$M$，点$P$是对称轴上一动点，以$P$、$O$、$M$为顶点的三角形与$\Delta OCD$相似，求出符合条件的点$P$．

5、已知一次函数$y=kx+2$的图象经过点$P(1,\frac{5}{2})$，与$x$轴相交于点$A$，与$y$轴相交于点$B$，二次函数$y=a{x}^2+bx(a>0)$的图象经过点$A$和点$P$，顶点为$M$，对称轴与一次函数的图象相交于点$N$．

⑴求一次函数的解析式以及$A$点，$B$点的坐标；

⑵求顶点$M$的坐标；

⑶在$y$轴上求一点$Q$，使得$△PNM$和$△PBQ$相似．

6、如图，已知在平面直角坐标系$xOy$中，顶点为$M$的抛物线$C_1:y=a{x}^2+bx(a<0)$经过点$A$和$x$轴上的点$B$，$AO=OB=2$，$\angle AOB=120°$．

⑴求该抛物线的表达式；

⑵联结$AM$，求$S_{\Delta AOM}$；

⑶设点$F$是$x$轴上一点，如果$\Delta MBF$与$\Delta AOM$相似，求所有符合条件的点$F$的坐标．