第9讲因式分解基本方法（十字、分组）

知识模块 01 · 原讲小节

因式分解基本方法（十字、分组）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

十字相乘法

⑴如何将二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 分解因式？

在多项式的乘法中，有 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$ .

反过来有 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$

如果二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 中的常数项 $q$ 能分解成两个因数 $a$ 、 $b$ 的积，而且一次项系数 $p$ 又恰好是 $a + b$ ，那么 $x^{2} + p x + q$ 就可以进行如下的因式分解，即 $x^{2} + p x + q = x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$

可以用十字交叉线来表示：

$x$ $+ a$

$x$ $+ b$

⑵将二次三项式 $k x^{2} + p x + q$ 分解因式：

若 $k = a c$ ， $q = b d$ ， $p = a d + b c$ 时， $k x^{2} + p x + q = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

可以用十字交叉线表示：

$a x$ $+ b$

$c x$ $+ d$

⑶将关于 $x 、 y$ 的二次齐次式 $k x^{2} + p x y + q y^{2}$ 分解因式：

若 $k = a c$ ， $q = b d$ ， $p = a d + b c$ 时， $k x^{2} + p x y + q y^{2} = a c x^{2} + (a d + b c) x y + b d y^{2} = (a x + b y) (c x + d y)$

可以用十字交叉线表示：

$a x$ $+ b y$

$c x$ $+ d y$

如上，利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

题目SH-056-001难度 A · 基础

⑴ $x^{2} + 7 x + 6$ ⑵ $x^{2} - 5 x + 6$

⑶ $x^{2} - 5 x - 6$ ⑷ $x^{2} + x - 6$

题目SH-056-002难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $x^{2} + 12 x + 32$ ⑵ $x^{2} - 10 x + 16$

⑶ $x^{2} - 2 x y - 35 y^{2}$ ⑷ $x^{2} + 6 x y - 27 y^{2}$

题目SH-056-003难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $6 x^{2} + 5 x - 6$ ⑵ $2 x^{2} - 9 x - 35$

⑶ $- 6 x^{2} - 13 x + 15$ ⑷ $x^{2} + \frac{7}{4} x + \frac{5}{8}$

题目SH-056-004难度 C · 综合

⑴ $18 m^{4} - 21 m^{2} n^{2} + 5 n^{4}$ 因式分解为（）

A. $(3 m^{2} + n^{2}) (6 m^{2} - 5 n^{2})$ B. $(3 m^{2} - n^{2}) (6 m^{2} - 5 n^{2})$

C. $(2 m^{2} - n^{2}) (9 m^{2} - 5 n^{2})$ D. $(9 m^{2} - n^{2}) (2 m^{2} - 5 n^{2})$

⑵如果 $x^{4} - 3 x^{2} - 54 = (x^{2} + a) (x^{2} + b)$ ，那么可以判断 $a$ 、 $b$ 的符号为（）

A. 同号 B. 异号且绝对值小的为负

C. 异号且绝对值大的为正 D. 异号且绝对值大的为负

⑶已知关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2} + m x - 24$ 能分解成两个整系数的一次多项式的积，

则整数 $m$ 的可能取值有（）种

A. $8$ B. $6$ C. $4$ D. $3$

题目SH-056-005难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ ⑵ ${(a^{2} + a)}^{2} - 8 (a^{2} + a) + 12$

题目SH-056-006难度 D · 提升

因式分解： $a b {(a + b)}^{2} + {(a + b)}^{2} + 1$

分组分解法

利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如：分解因式 $a x + a y + b x + b y$

<法一> $a x + a y + b x + b y = (a x + a y) + (b x + b y) = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$

<法二> $a x + a y + b x + b y = (a x + b x) + (a y + b y) = x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)$

分组分解法的步骤：

①将多项式分成恰当的几组（分组依据通常为字母、系数、次数等），分别对每一组进行因式分解；

②观察到分组后的各组间可以提取公因式，或满足乘法公式，再进一步因式分解.

题目SH-056-007难度 A · 基础

分解因式：

⑴ $a b + a c - b - c$ ⑵ $a c + b d + b c + a d$

题目SH-056-008难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $x y - x - y + 1$ ⑵ $3 a b - 4 a c + 6 b d - 8 c d$

⑶ $36 m^{2} - 12 m n + 9 m n^{2} - 3 n^{3}$ ⑷ $6 a^{2} c - 4 a b - 3 a c^{2} + 2 b c$

题目SH-056-009难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $x^{2} + x y + y - 1$

⑵ $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 1$

⑶ $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} - 3 x + 9 y$

题目SH-056-010难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $a b (c^{2} - d^{2}) - c d (a^{2} - b^{2})$

⑵ $a x (y^{3} + b^{3}) + b y (b x^{2} + a^{2} y)$

题目SH-056-011难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$

⑵ $x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

因式分解： ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 7 (x^{2} - 2 x) - 8$

因式分解： $3 m^{3} + 12 m^{2} - 15 m$

因式分解： $3 {(m^{2} + 3 m)}^{2} - 18 (m^{2} + 3 m) - 120$

因式分解： $x^{3} + 2 x^{2} y - 9 x - 18 y$

因式分解： $x^{2} (x + 1) - y^{2} (y + 1)$

题目SH-056-012

⑴下列选项中，因式分解正确的是（）

A. $x^{2} - \frac{5}{2} x + 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) (x - 2)$

B. $25 a^{4} - 26 a^{2} + 1 = (25 a^{2} - 1) (a^{2} - 1)$

C. $- 3 x^{2} + 10 x y - 3 y^{2} = (- 3 x + y) (- x - 3 y)$

D. $x^{2 n + 2} - 3 x^{n + 2} + 2 x^{2} = (x^{n + 1} - x) (x^{n + 1} - 2 x)$

⑵下列多项式中，有相同因式的是（）

① $x^{2} + 7 x + 6$ ② $x^{2} + 4 x + 3$ ③ $x^{2} + 6 x + 8$ ④ $x^{2} + 7 x + 10$

⑤ $x^{2} + 15 x + 44$

A.①② B.③④ C.③⑤ D.以上都正确

⑶已知关于 $y$ 的二次三项式 $y^{2} + a y + 12$ 能分解成两个整系数的一次多项式的积，

则整数 $a$ 的可能取值有（）种

A. $8$ B. $6$ C. $4$ D. $3$

因式分解：

⑴ $x^{2} - 15 x - 100$ ⑵ $3 x^{2} - 7 x - 20$

⑶ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{4} x y + \frac{3}{4} y^{2}$ ⑷ $10 a^{2} + 11 a b + 3 b^{2}$

因式分解：

⑴ $\frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} - 4 x$ ⑵ $x^{4} - 29 x^{2} + 100$

⑶ ${(a^{2} + 5 a)}^{2} - 12 (a^{2} + 5 a) + 36$ ⑷ $6 {(x + 2 y)}^{2} + (x + 2 y) - 2$

因式分解：

题目SH-056-013

⑴ $x y - 2 x - 2 y + 4$ ⑵ $2 a x - 10 a y + 5 b y - b x$

⑶ $2 x^{3} - 2 x^{2} y + 8 y - 8 x$ ⑷ $a c^{2} + b d^{2} - a d^{2} - b c^{2}$

因式分解：

⑴ $9 - a^{2} - 6 a b - 9 b^{2}$ ⑵ $m^{2} - 9 + \frac{1}{4} n^{2} + m n$

⑶ $4 a^{2} + 9 b^{2} - 49 c^{2} - 12 a b$ ⑷ $a^{4} - 2 a^{3} + 4 a - 4$

因式分解：

⑴ $a b (c^{2} + d^{2}) + c d (a^{2} + b^{2})$

⑵ $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 1$

⑶ $x^{5} - x^{4} + 2 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$

题目SH-056-014

分解因式： ${(x^{2} - 2)}^{2} - x (x^{2} - 2) - 2 x^{2}$
分解因式： ${(a + b)}^{2} (a b - 1) + 1$
分解因式： $(a^{2} - b^{2}) x^{2} + a b - (a^{2} + b^{2}) x$
若 $| a + 4 |$ 与 $b^{2} - 2 b + 1$ 互为相反数，将多项式 $(x^{2} + 4 y^{2}) - (a x y + b)$ 分解因式.
$△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 满足 $a^{2} - 2 b c = c^{2} - 2 a b$ ，判断 $△ A B C$ 的形状.
若一个长方形的周长为 $32$ ，长为 $x$ ，宽为 $y$ ，且满足 $x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3} = 0$ ，求这个长方形的面积.
求方程 $x y + x + y = 6$ 的整数解.
已知 $x, y, z$ 都是自然数，并且满足 ${\begin{matrix} x y + 3 x + 2 y = 2 \\ y z + 4 y + 3 z = 52 \end{matrix}$ ，求 $x, y, z$ 的值.
求方程 $3 x y + 2 x + y = 13$ 的整数解.