代数4-整式、分式、因式分解 · 第 042 讲

第19讲因式分解五（试根、长除）

18 道题5 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

因式分解五（试根、长除）

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知识讲解定义、性质与方法

长除法

关于整式的除法，我们已学过单项式除以单项式，多项式除以单项式. 对于多项式除以多项式，需要用长除法（竖式）来计算.

知识模块 02 · 原讲小节

长除法的运算步骤

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知识讲解定义、性质与方法

⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用 $0$ 补齐；

⑵用竖式进行运算；

⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.

题目SH-042-001难度 A · 基础

用长除法求 $3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 7$ 除以 $x + 2$ 的商式和余式.

长除法过程如下：

$\begin{matrix} 3 x^{2} - 4 x + 3 \\ x + 2 \begin{matrix} 3 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 7 \\ \underline{3 x^{3} + 6 x^{2}} \\ - 4 x^{2} - 5 x \\ \underline{- 4 x^{2} - 8 x} \\ 3 x + 7 \\ \underline{3 x + 6} \\ 1 \end{matrix} \end{matrix}$

$∴$ 商式为 $3 x^{2} - 4 x + 3$ ，余式为 $1$ .

题目SH-042-002难度 C · 综合

请用长除法计算下列各式的商式和余式：

⑴ $(3 x^{3} + 5 x^{2} - 2) \div (x + 3)$

⑵ $(21 x - 32 x^{2} + 3 x^{4} + 6) \div (x^{2} + 3 x - 2)$

知识模块 03 · 原讲小节

关于 x 的代数式

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知识讲解定义、性质与方法

研究关于 $x$ 的代数式时常常可用记号 $f (x)$ 或者 $g (x)$ 等简单地表示．这里的 $f$ 表示对括号内的字母施行的一系列的运算. $f (a)$ 表示当 $x = a$ 时，代数式 $f (x)$ 的值.

如用 $f (x)$ 表示代数式 $2 x^{2} + 5 x - 6$ ，记作 $f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$ ．

$f (3)$ 则表示当 $x = 3$ 时，代数式 $2 x^{2} + 5 x - 6$ 的值， $f (3) = 2 \times 3^{2} + 5 \times 3 - 6 = 27$ .

知识模块 04 · 原讲小节

余数定理与因式定理

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知识讲解定义、性质与方法

多项式 $f (x)$ 除以多项式 $g (x)$ 的商式为 $q (x)$ ，余式为 $r (x)$ .（ $r (x)$ 的次数低于 $g (x)$ ）

$f (x) \div g (x) = q (x) \dots \dots r (x)$ ，即可写成 $f (x) = g (x) q (x) + r (x)$ .

特别地，当除式 $g (x)$ 为一次式 $(x - a)$ 时，则余式 $r (x)$ 只能为常数.此时，余式也可以叫做余数，记作 $r$ ，则可写成 $f (x) = (x - a) \cdot q (x) + r$ .

⑴余数定理：多项式 $f (x)$ 除以 $(x - a)$ 所得的余数等于 $f (a)$ .

⑵因式定理：若多项式 $f (x)$ 有一个因式 $(x - a)$ ，则 $f (a) = 0$ ；反之，如果 $f (a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 必为多项式 $f (x)$ 的一个因式.

可以看出，因式定理只是余数定理在 $r = 0$ 时的一种特殊情况.

题目SH-042-003难度 B · 巩固

⑴多项式 $f (x) = 7 x^{5} - 4 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 5$ 除以 $(x - 1)$ 所得的余数为（）

A． $- 20$ B． $0$ C． $5$ D． $10$

⑵若多项式 $f (x) = 2 x^{5} - 3 x^{4} + 8 x^{3} - 9 x + m$ 能够被 $(x + 1)$ 整除，则 $m =$ （）

A． $- 16$ B． $- 2$ C． $2$ D． $4$

题目SH-042-004难度 C · 综合

若多项式 $x^{5} - 2 x^{4} + a x^{2} - b x - 4$ 能被 $x^{2} - 3 x + 2$ 整除，则 $a + b =$ （）

A. $- 11$ B. $- 3$ C. $1$ D.无法计算

题目SH-042-005难度 C · 综合

已知一个关于 $x$ 的二次多项式 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，它被 $(x - 1)$ 除余 $3$ ，被 $(x - 2)$ 除余

$6$ ，被 $(x + 1)$ 除余 $9$ ，求 $f (x)$ .

题目SH-042-006难度 C · 综合

求一个关于 $x$ 的二次多项式，它的二次项系数为 $1$ ，它被 $(x - 3)$ 除余 $4$ ，且它被 $(x - 1)$ 除与被 $(x - 2)$ 除所得的余数相同.

试根法

利用因式定理和长除法，可以得到因式分解的又一种方法——试根法.

（1）对于整系数多项式 $f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ ：

性质①：若首项系数 $a_{0} = 1$ ，且它有因式 $(x - q)$ （ $q$ 为整数），则 $q$ 一定是常数项 $a_{n}$ 的因数.

性质②：若首项系数 $a_{0} \neq 1$ ，且它有因式 $(p x - q)$ （ $p$ 、 $q$ 为两个互素的整数），则 $p$ 一定是首项系数 $a_{0}$ 的因数， $q$ 一定是常数项 $a_{n}$ 的因数.

（2）试根法：

对整系数多项式 $f (x)$ 进行因式分解时，根据因式定理，若能找到方程 $f (x) = 0$ 的根 $x = q$

（或 $x = \frac{q}{p}$ ），即找到了 $f (x)$ 的一个因式 $(x - q)$ 或 $(p x - q)$ . 剩余部分可用长除法来求得.

知识模块 05 · 原讲小节

（3）试根法基本步骤

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知识讲解定义、性质与方法

① 先确定可能的根 $x = \frac{q}{p}$ ，其中 $p$ 为 $a_{0}$ 的因数， $q$ 为 $a_{n}$ 的因数（对于最高次项的系数为 $1$ 的多项式，则可能的根为常数项的约数）；

② 将可能的根 $x$ 代入原式 $f (x)$ 计算，找到使 $f (x) = 0$ 的根 $x = x_{1}$ ；

③ $f (x)$ 的一个因式为 $(x - x_{1})$ ，利用长除法得 $f (x) = (x - x_{1}) g (x)$

题目SH-042-007难度 B · 巩固

分解因式：

（1） $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 6$

（2） $x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 12$

题目SH-042-008难度 C · 综合

分解因式：

（1） $2 x^{3} + 5 x^{2} - x - 1$

（2） $4 x^{3} - 12 x^{2} + 5 x + 6$

题目SH-042-009难度 C · 综合

分解因式： $4 x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 10 x + 3$

题目SH-042-010

$x^{285} - x^{83} + x^{71} + x^{9} - x^{3} + x$ 除以 $x - 1$ 的余数为多少？

题目SH-042-011

已知多项式 $4 x^{3} + a x^{2} - 5 x - 1$ 能被 $2 x + 1$ 整除，则常数 $a =$ ．

题目SH-042-012

如果 $x^{3} + a x^{2} + b x + 8$ 有两个因式 $x + 1$ 和 $x - 2$ ，则 $a + b =$ ．

题目SH-042-013

设 $f (x) = x^{4} - a x^{2} - b x + 2$ 能被 $x^{2} + 3 x + 2$ 整除，求 $a 、 b$ 的值．

因式分解： $x^{3} + x - 10$

题目SH-042-014

求下列各式的商式和余式：

（1） $(3 x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} - x + 2) \div (x^{2} - 3 x + 1)$

（2） $(3 x^{4} - 4 x^{2} + 2 x + 4) \div (x + 2)$

（1）多项式 $2 x^{3} + 3 x - 4$ 除以 $x - 3$ 的余数为.

（2）多项式 $3 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 8$ 除以 $x + 2$ 的余数为.

题目SH-042-015

已知一个二次多项式 $a x^{2} + b x + c$ 被 $(x - 2)$ 除余 $3$ ，被 $(x - 3)$ 除余 $5$ ，被 $(x + 1)$ 除余 $3$ ，求这个多项式.
分解因式：

（1） $x^{3} + 5 x^{2} + 6 x + 2$

（2） $x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 2$

（3） $x^{3} + x^{2} - 3 x - 6$

分解因式：

（1） $6 x^{3} - 13 x^{2} + 8 x - 1$

（2） $12 x^{3} - 28 x^{2} + 17 x - 3$

分解因式： $x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x - 6$

多项式 $x - x^{10} - x^{21} + x^{32} + x^{43} - x^{54} + x^{65} + x^{76} - x^{87} - x^{98}$ 除以 $x - 1$ 的余数为.
若多项式 $2 x^{2} + 4 x + k$ 有一个因式是 $(x + 3)$ ，则 $k =$ .
用试根法因式分解： $x^{3} + 4 x^{2} + 10 x + 7$

题目SH-042-016

用试根法因式分解： $4 x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 2$
设 $f (x) = x^{2} + m x + n$ （ $m$ 、 $n$ 均为整数）即是多项式 $x^{4} + 6 x^{2} + 25$ 的因式，又是多项式 $3 x^{4} + 4 x^{2} + 28 x + 5$ 的因式，求 $f (x)$ 及 $f (- 1)$ .

多项式 $f (x) = 7 x^{5} - 4 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 5$ 除以 $(4 x + 4)$ 所得的余数为．
若多项式 $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + k$ 有一个因式是 $(x + 1)$ ，则 $k =$ .
用试根法因式分解： $3 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x - 2$

题目SH-042-017

用试根法因式分解： $6 x^{4} - 11 x^{3} - x^{2} - x - 2$
已知关于 $x$ 的多项式能被 $(2 x + 1)$ 整除，且除以 $(x - 2)$ 的余数为 $5$ ，求这个多项式除以 $(x - 2) (2 x + 1)$ 所得的余式.

题目SH-042-018

若多项式 $x^{4} + m x^{3} + n x - 16$ 含有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，求 $m n$ 的值.
用试根法因式分解： $2 x^{3} + 5 x^{2} + 6 x + 3$
用试根法因式分解： $x^{4} + x^{3} - 8 x^{2} + 2 x + 4$
已知 $f (x)$ 、 $g (x)$ 除以 $(2 x^{2} - 3 x - 2)$ 余式为 $(3 x + 2)$ 、 $(- 4 x + 7)$ ，则 $f (x) + g (x)$ 除以 $(2 x + 1)$ 余式为多少？
多项式 $f (x)$ 除以 $(x^{2} - 3 x - 4)$ 、 $(2 x^{2} - 3 x + 1)$ 余式为 $(4 x - 1)$ 、 $(2 x + 7)$ ，求 $f (x)$ 除以 $(2 x^{2} - 9 x + 4)$ 的余式．