几何2-三角形 · 第 114 讲

第7讲中垂线与角平分线

22 道题4 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

中垂线与角平分线

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

分析

如图，直线

l

经过线段

A B

的中点

O

，并且垂直于线段

A B

，则直线

l

就是线段

A B

的垂直平分线.

知识模块 02 · 原讲小节

线段垂直平分线的性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

线段垂直平分线上的任意一点与这条线段两个端点的距离相等.

分析

如图，点

P

是线段

A B

垂直平分线上的点，则

P A = P B

线段垂直平分线的判定

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

拓展

求证：

△ A B C

的三条垂直平分线交于一点．

如图所示，作线段 $A B$ 和 $B C$ 的垂直平分线交于 $P$ ，
联结 $A P$ ， $B P_{}^{}$ ， $C P$ ．

∵ $P$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，∴ $A P = B P$
∵ $P$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上，∴ $B P = C P$
∴ $A P = C P$ ，∴ $P$ 在线段 $A C$ 的垂直平分线上，
即 $△ A B C$ 的三条垂直平分线相交于一点，得证．

知识模块 03 · 原讲小节

题型一：垂直平分线的性质

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-114-001难度 B · 巩固

⑴如图所示， $△ A B C$ 两边 $A B$ 和 $A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于 $D$ 、 $E$ ，若 $∠ B A C = 110 °$ ， $B C = 8$ ，则 $∠ D A E =$ ， $△ A D E$ 的周长为．

⑵如图，在 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线交 $B C 、 A B$ 于点 $E 、 M$ ,边 $A C$ 的垂直平分线交 $B C 、 A C$ 于点 $F 、 N$ , $△ A E F$ 的周长为 $10$ .

①线段 $B C =$ ;②若 $∠ B + ∠ C = 45 °$ , $E F = \frac{9}{2}$ ，则 $△ A E F$ 的面积为.

题目SH-114-002难度 C · 综合

⑴如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ , $E F$ 垂直平分 $A C$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ,且 $B D = D E$ .

①若 $∠ B A E = 40 °$ ，则 $∠ C =$ 度.

②若 $△ A B C$ 的周长为 $20 c m$ , $A C = 8 c m$ ，则 $D C =$ .

⑵如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 22.5 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， $D E$ 垂直平分 $A B$ ， $A F ⊥ B C$ 于 $F$ ， $B D = 6 \sqrt{2}$ ，则 $F C =$ ____________．

题型二：判断线是垂直平分线

题目SH-114-003难度 C · 综合

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $B F ⊥ A C$ 于 $F$ ， $C G ⊥ A B$ 于 $G$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，联结 $D F$ 、 $D G$ ，且 $D E$ 是 $∠ F D G$ 的角平分线．求证： $D E$ 垂直平分 $G F$ ．

题目SH-114-004难度 D · 提升

已知：如图， $△ A B C$ 的高 $B E, C F$ 交于点 $H$ ，点 $M, N$ 分别是 $B C, A H$ 的中点．

求证： $M N$ 垂直平分 $E F$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

角的平分线

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

例

【例】已知：如图，

O P

平分

∠ A O B

，

P M ⊥ O A

于

M

，

P N ⊥ O B

于

N

．

求证： $P M = P N$ ．

易证 $△ P O M ≌ △ P O N (A . A . S)$ ，故 $P M = P N$ ．

⑵判定定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

例

【例】已知：如图，

P

为

∠ A O B

内部一点，且

P M ⊥ O A

于

M

，

P N ⊥ O B

于

$N$ ， $P M = P N$ ．求证： $O P$ 平分 $∠ A O B$ ．

易证 $R t △ P O M ≌ R t △ P O N (H . L)$ ，故 $∠ M O P = ∠ N O P$ ．

拓展

求证：

△ A B C

的三条内角平分线交于一点．

如图，在 $△ A B C$ 中，作 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，作 $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $A D$ 与 $B E$ 相交于 $P$ ，联结 $C P$ 并延长交 $A B$ 于 $F$ ，

过 $P$ 作 $P M ⊥ A B$ 于 $M$ ， $P N ⊥ B C$ 于 $N$ ， $P Q ⊥ A C$ 于 $Q$ ，
∵ $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，根据角平分线性质定理，有 $P M = P Q$ ．
同理可证得 $P M = P N$ 故 $P N = P Q$ ，
根据角平分线判定定理，得 $P$ 在 $∠ A C B$ 的角平分线上，
故 $C F$ 平分 $∠ A C B$ ，得证．

题目SH-114-005难度 C · 综合

⑴如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $D$ ，如果 $A C = 3$ ，那么 $A E + D E =$ ．

⑵如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线， $P D ⊥ O A$ ，垂足为 $D$ ， $P D = 2$ ，则点 $P$ 到 $O B$ 的距离是．

⑶如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ， $△ A B C$ 的面积为 $7$ ， $D E = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $A C$ 的长为．

⑷如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，

则 $S_{△ A B C} : S_{△ A C D} =$ ．

题目SH-114-006难度 C · 综合

如图， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点， $D M$ 平分 $∠ A D C$ ，联结 $A M$ ．

求证： $A M$ 平分 $∠ B A D$ ．

题目SH-114-007

如图,已知 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的平分线 , $B A = B C$ ， $P M ⊥ A D$ , $P N ⊥ C D$ ，求证: $P M = P N$ ．

题目SH-114-008

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，若 $C D = 3$ ， $B C + A B = 16$ ，则 $△ A B C$ 的面积为________________．

题目SH-114-009

如图, $∠ B A D = ∠ C A D$ , $E F$ 是 $A D$ 的垂直平分线 , 求证 : $∠ C A F = ∠ B$ ．

题目SH-114-010

如图，等腰 $△ A B C$ 中顶角 $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C$ ， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ．求证： $B F = 2 C F$ ．

题目SH-114-011

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 的延长线于 $E$ ，则 $C E =$

题目SH-114-012

⑴在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ C A E$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C A D = 65 °$ ，求 $∠ A C D$ 的大小．

⑵ 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $C D = 3.5 c m$ ， $A B = 15 c m$ ，求 $S_{△ A B D}$ ．

题目SH-114-013

在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 16 c m$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $C D : D B = 3 : 5$ ，则 $D$ 到 $A B$ 的距离等于．

题目SH-114-014

如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $∠ B P C = 118 °$ ， $B P$ 、 $C P$ 分别是 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的角平分线，且 $P D ∥ A B$ ， $P E ∥ A C$ ，则 $△ P D E$ 的周长是， $∠ D P E =$

题目SH-114-015

如图，已知 $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $D$ 、 $E$ ，且 $B D = C E$ ， $B E$ 交 $C D$ 于点 $O$ . 求证： $A O$ 平分 $∠ B A C$ .

题目SH-114-016

如图，已知： $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ B C$ 交 $∠ B A C$ 的角平分线于点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于 $F$ ， $E G ⊥ A C$ 于 $G$ ．求证： $B F = C G$ ．

题目SH-114-017

如果三角形中，两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是（）．

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

题目SH-114-018

如图，在 $△ A B C$ 中， $E F$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A F = 12$ ， $B F = 3$ ，则 $B C =$ ____________．

题目SH-114-019

如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， $S_{△ A B C} = 48$ ， $A C = 12$ ， $A B = 16$ ，则 $D E =$ ____________．
如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A E = C F$ ，求证： $S_{△ A D E} = S_{△ C D F}$ ．

第四讲随堂诊断

1、若 $u$ 、 $v$ 满足 $v = \sqrt{\frac{2 u - v}{4 u + 3 v}} + \sqrt{\frac{v - 2 u}{4 u + 3 v}} + \frac{3}{2}$ ，则 $u^{2} - u v + v^{2} =$ 　　．

2、化简： $\frac{x + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + \frac{2 x y}{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}} =$ ．

3、已知 $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，则

题目SH-114-020

⑴ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} =$ ．

⑵ $2 x^{2} + 6 x y + 2 y^{2} =$ ．

4、如图，等边三角形 $A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上， $∠ E B C = 45 °$ ，则 $∠ A C E$ 等于　　．

5、如图， $A B = A C = B D$ ，那么 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 满足的等式关系是 .

题目SH-114-021

6．如图 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $E$ 、 $D$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 边上的点，且 $B E = C D$ ， $C F = B D$ ．若 $∠ E D F = 50 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为．

题目SH-114-022

7．如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，且 $B D = B C = A D$ ，则 $∠ C D F$ 的度数为．

8、如图，将长方形纸片 $A B C D$ 折叠，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，折痕 $E F$ 分别与 $A B 、 D C$ 交于点 $E$ 和点 $F$ .若 $A D = 12$ , $D C = 18$ ，求 $△ A E F$ 的面积.