第9讲 手拉手与夹半角

常见结论：①$△ADE≌△CDG\left(S.A.S\right)$；②$AE$与$CG$的夹角为$90°$.

如图，已知$△ABC$和$△ADE$都是等边三角形，$B$、$C$、$D$在一条直线上，试说明$CE$与$AC+CD$相等的理由．

如图，$△ABD$和$△CED$均为等边三角形，$AC=BC$，$AC\perp BC$．若$BE=\sqrt{2}$，则$CD=$ ．

如图，点$C$为线段$AB$上一点，$△ACM$、$△CBN$是等边三角形，$D$是$AN$中点，$E$是$BM$中点，求证：$△CDE$是等边三角形．

如图$\text{1}$，等边$△ABC$中，$\angle DAE=30°$，将$△ABD$逆时针旋转$60°$至$△ACF$，

则$△ADE≌△AFE$

如图$\text{2}$，$Rt△ABC$中，$\angle BAC=90°$，$\angle DAE=45°$，将$△ABD$逆时针旋转$90°$至$△ACF$，

则$△ADE≌△AFE$

【编者注】理解上是旋转，作辅助线时一般不提及旋转.

已知：如图，正方形$ABCD$中，$E$为$BC$上一点，$F$为$CD$上一点，且$\angle EAF=45°$.

求证：$BE+DF=EF$.

如图所示，等腰直角$△ABC$中，$M$、$N$为斜边$AB$上两点，且$\angle MCN=45°$.

求证：以$AM$、$MN$、$BN$三边为边长构成的三角形是直角三角形.

如图所示，$△ABC$是边长为$1$的正三角形，$△BDC$是顶角为$120°$的等腰三角形，以$D$为顶点作一个$60°$的$\angle MDN$，点$M$、$N$分别在$AB$、$AC$上，求$△AMN$的周长．

如图，$\angle BAC=\angle DAF=90°$，$AB=AC$，$AD=AF$，点$D,E$为边$BC$上的两点，且$\angle DAE=45°$，联结$EF,BF$，则下列结论：①$△AED≌△AEF$；②$△ABE≌△ACD$；

③$BE+DC>DE$； ④$B{E}^2+D{C}^2=D{E}^2$．其中正确的结论有（）

$A.$$1$个 $B.$$2$个 $C.$$3$个 $D.$$4$个

$A$．$124°$ $B$．$122°$

$C$．$120°$ $D$．$118°$

⑴ 如图1，点$O$是线段$AD$的中点，分别以$AO$和$DO$为边在线段$AD$的同侧作等边三角

形$OAB$和等边三角形$OCD$，联结$AC$和$BD$，相交于点$E$，联结$BC$．求$\angle AEB$．

⑵ 如图2，$△OAB$固定不动，保持$△COD$的形状和大小不变，将$△COD$绕着点$O$逆时针旋转$15°$，求$\angle AEB$的大小．

求证：⑴$AE=BD$；⑵$\angle AFM=60°$；⑶$CM=CN$．

在等腰$Rt△ABC$的斜边$AB$上取两点$M$、$N$，使$\angle MCN=45°$，记$AM=m$，$MN=x$，

$BN=n$，则以$x$、$m$、$n$为边长的三角形的形状是()．

$A$．锐角三角形 $B$．直角三角形

$C$．钝角三角形 $D$．随$x$、$m$、$n$的变化而变化

已知：如图，正方形$ABCD$中，$\angle DAF=\angle EAF$．求证：$BE+DF=AE$.