第14讲 直线与圆的位置关系

⑴ 如图，$\angle APB=30°$，圆心在边$PB$上的$\odot O$的半径为$1\text{c}\text{m}$，$OP=3\text{c}\text{m}$，若$\odot O$沿射线$BP$方向移动，当$\odot O$与直线$PA$相切时，圆心$O$移动的距离为________．

如图，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=3$，$P$是边$AB$上一点（除端点外），过三点$A$，$D$，$P$作$\odot O$．

⑴ 指出圆心$O$的位置；

⑵ 当$AP=3$时，判断$BC$与$\odot O$的位置关系；

⑶ 当$BC$与$\odot O$相切时，求$AB$被$\odot O$截得的弦长．

⑵ 若$\odot B$与斜边$AC$只有唯一一个公共点，求$\odot B$的半径长$R$的取值范围．

⑶ 若$\odot B$与斜边$AC$有两个公共点，求$\odot B$的半径长$R$的取值范围．

⑷ 若$\odot B$与斜边$AC$没有公共点，求$\odot B$的半径长$R$的取值范围．

【$2021$闵行】

如图，在$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，点$P$在边$AC$上，$\odot P$的半径为$1$.如果$\odot P$与边$BC$和边$AB$都没有公共点，那么线段$PC$长的取值范围是________.

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长($PA$、$PB$)．

⑵ 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

($\angle APO=\angle BPO$)．

⑴ 如图，半径为$3cm$的$\odot O$切直线$AC$于$B$，$AB=3cm$，$BC=\sqrt{3}cm$，则$\angle AOC$的度数是________．

⑵ 已知：如图，$AB=AC$，$D$为$BC$中点，$\odot D$与$AB$相切于$E$点．求证：$AC$与$\odot D$相切．

⑶ 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$点在圆上，$CD\perp AB$于$D$．$P$在$BA$延长线上，且$\angle PCA=\angle ACD$．求证：$PC$是$\odot O$的切线．

⑷ 如图，已知$AB$是$\odot O$的直径，$AC\perp l$于$C$，$BD\perp l$于$D$，且$AC\text{+}BD=AB$．求证：直线$l$与$\odot O$相切．

圆心的距离等于半径．

如图， 在平面直角坐标系$xOy$中， 直线$AB$经过点$A(6,0)$、$B(0,6)$，$\odot O$的半径为$2(O$为坐标原点），点$P$是直线$AB$上的一动点， 过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$，$Q$为切点， 则切线长$PQ$的最小值为$($　　$)$

A ．$\sqrt{7}$ B ． 3 C ．$3\sqrt{2}$ D ．$\sqrt{14}$

⑴如图，$PA$、$PB$、$DE$分别切$\odot O$于$A$、$B$、$C$，若$PO=10$，$△PDE$周长为$16$，求$\odot O$的半径．

⑵如图，在等腰三角形$△ABC$中，$O$为底边$BC$的中点，以$O$为圆心作半圆与$AB$，$AC$相切，切点分别为$D$、$E$．过半圆上一点$F$作半圆的切线，分别交$AB$、$AC$于$M$、$N$．那么$\frac{BM·CN}{B{C}^2}$的值等于$($　　$)$

A．$\frac{1}{8}$ B．$\frac{1}{4}$ C．$\frac{1}{2}$ D．1

如图，在$Rt△ABC$中，$\angle ABC=90°$，$AC$的垂直平分线与$AC$、$BC$及$AB$的延长线分别相交于点$D$、$E$、$F$，$\odot O$是$△BEF$的外接圆，$\angle EBF$的平分线交$EF$于点$G$，交$\odot O$于点$H$，联结$BD$，若$BC=BF$．

⑴求证：$△ABC≌△EBF$．

⑵试判断$DB$与$\odot O$的位置关系，并说明理由．

⑶若$AB=1$，求线段$BF$和$HG$的长度．

⑴ 如图，$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，以$BC$上一点$O$为圆心作$\odot O$与$AB$、$AC$相切，又$\odot O$与$BC$的另一交点为$D$，则线段$BD$的长为________．

⑵ 如图，$\odot O$是$△ABC$的内切圆，$D$、$E$、$F$是切点，$AB=18cm$，$BC=20cm$，$AC=12cm$．又直线$MN$切$\odot O$于$G$，交$AB$、$AC$于$MN$，则$△BMN$的周长为________．．

如图，在$\text{R}\text{t}△ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=5$，$BC=12$，$\odot O$的半径为$3$．

⑴ 当圆心$O$在点$C$上时，$\odot O$与$AB$的位置关系如何？

⑵ 若点$O$在线段$CA$上移动，当$OC$为多少时，$\odot O$与$AB$有公共点？

⑵如图，已知在$\odot O$中，$AB$是直径，过点$B$作$BC$垂直于$AB$，联结$CO$．若$AD\parallel OC$交$\odot O$于点$D$．求证：$CD$是$\odot O$的切线．

如图，已知$\odot O$的弦$AB$垂直于直径$CD$，垂足为$F$，点$E$在$AB$上，且$EA=EC$，延长$EC$到点$P$，联结$PB$，若$PB=PE$，试判断$PB$与$\odot O$的位置关系，并说明理由．

在$△ABC$中，$\angle ACB=90°$，以$AC$为直径的圆交斜边$AB$于点$P$，$E$是$BC$中点，联结$PE$；

⑴如果圆$O$的半径为$2$，$\angle B=30°$，求$OE$长；

⑵求证：$PE$是$\odot O$的切线．

已知：如图，在以$O$为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为$4$，大圆的弦$AB$与小圆交于$C$、$D$两点，且$AC=CD$，$\angle COD=60°$．

求：⑴ 求大圆半径的长；

⑵ 如果大圆的弦$AE$长为$8\sqrt{2}$，求$\angle AEO$的余切，并判断弦$AE$与小圆的位置关系．

如图，已知$AB$是$\odot O$的直径，$BC$是和$\odot O$相切于点$B$的切线，$\odot O$的弦$AD$平行于$OC$，若$OA=2$，且$AD+OC=6$．⑴ 求证：$CD$是$\odot O$的切线；⑵ 求$CD$的长．

⑶如图③，当$\odot O$与正方形有$5$个公共点时，试说明$r=\frac{5}{4}a$．