代数5-实数与二次根式 · 第 061 讲

第5讲二次根式综合

24 道题3 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

二次根式综合

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

当 $x$ 取何值时，下列各式有意义．

⑴ $\frac{1}{1 - \sqrt{x - 2}}$ ；
⑵ $\sqrt{6 - \sqrt{x - 3}}$ ；

⑶ $\frac{\sqrt{6 - 3 x}}{\sqrt[3]{3 + x}}$ ；
⑷ $\frac{30 x}{\sqrt{\sqrt{x + 6} - \sqrt{2 - x}}}$ ．

题目SH-061-001

最简二次根式 $\sqrt{4 a + 3 b}$ 与 $\sqrt[b + 1]{2 a - b + 6}$ 是同类二次根式，则 $a =_________,$ $b =_________$ ．
已知最简二次根式 $\sqrt[3 m - 4 n]{n + 6 m}$ 和 $\sqrt{7 m - 5}$ 是同类二次根式，求 $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$ ．

知识模块 02 · 原讲小节

二次根式的基本性质

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知识讲解定义、性质与方法

$\sqrt{a} \geq 0$ （ $a \geq 0$ ）（双重非负性）；
${(\sqrt{a})}^{2} = a$ （ $a \geq 0$ ）；
$\sqrt{a^{2}} = | a | = {\begin{matrix} a (a \geq 0) \\ - a (a < 0) \end{matrix}$ ．

最简二次根式

最简二次根式满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：

被开方数不含分母（被开方数的因数是整数，因式是整式）；
被开方数中各因数的指数都为 $1$ （被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）；
分母中不含二次根式（分母有理化）．

分母有理化

分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．

题目SH-061-002

如果分母是单项式，则分子分母同时乘以此分母；
如果分母是多项式，则采用平方差公式，分子分母同时乘以分母的有理化因式．

互为有理化因式：两个含有二次根式的非 $0$ 代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式． $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ 互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 $0$ ．
拓展知识点：共轭根式

共轭根式：两个根式的积与和都为有理式，这两个根式就互为共轭因式．如两个形如 $a + \sqrt{b}$ 与 $a - \sqrt{b}$ 的式子（其中 $a, b$ 都是有理数）．

【注意】有理化因式与共轭根式的区别：共轭因式必定是有理化因式，但有理化因式就不一定是共轭因式，共轭因式是有理化因式的特例，有理化因式则是共轭因式的一般形式．

二次根式的运算法则：

$a \sqrt{x} + b \sqrt{x} = (a + b) \sqrt{x}$ （合并同类二次根式）；
二次根式的乘法法则： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0, b \geq 0$ ）；
二次根式的除法法则： $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ （ $a \geq 0, b > 0$ ）．

【注意】① 二次根式的计算结果要写成最简二次根式的形式．

② 利用这两个法则时注意 $a, b$ 的取值范围，对于 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ， $a, b$ 都非负，否则不成立，如 $\sqrt{(- 7) \cdot (- 5)} \neq \sqrt{(- 7)} \cdot \sqrt{(- 5)}$

题目SH-061-003难度 B · 巩固

题目SH-061-004

计算：

⑴ $4 \sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{8} + 4 \sqrt{2}$ ；

⑵ $\frac{2}{\sqrt{2} - 1} + \sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}$ ；

⑶ $\sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{\frac{4}{3}} \times \sqrt{\frac{9}{4}}$

⑷ $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \div \sqrt{2 \frac{1}{3}} \times \sqrt{1 \frac{2}{5}}$ ；

题目SH-061-005

计算：

⑴ $2 \sqrt{12} + 3 \sqrt{1 \frac{1}{3}} - \sqrt{5 \frac{1}{3}} - \frac{2}{3} \sqrt{48}$ ；

⑵ $2 \sqrt{\frac{5}{6}} \times 4 \sqrt{3 \frac{3}{5}}$

⑶ $\sqrt{1 \frac{3}{5}} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot (- \frac{1}{2} \sqrt{10})$ ；

⑷ $\frac{2 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} + \sqrt{12} - {(\sqrt{3} + 1)}^{2} + 4 \sqrt{\frac{3}{4}} \div \sqrt{5 \frac{1}{3}}$ ；

题目SH-061-006难度 B · 巩固

题目SH-061-007

化简：

⑴ $\sqrt{\frac{2 b}{a}} \cdot \sqrt{\frac{a}{18 b}}$ ；

⑵ $\frac{\sqrt{3 a}}{2 b} \cdot (\sqrt{\frac{b}{a}} \div 2 \sqrt{\frac{1}{b}})$ ；

⑶ $3 c \sqrt{\frac{2 a b}{5 c^{2}}} \div \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 b}{2 a}}$ ．

题目SH-061-008

化简：

⑴ $\frac{2}{b} \sqrt{a b^{5}} \cdot (- \frac{3}{2} \sqrt{a^{3} b}) \div 3 \sqrt{\frac{b}{a}}$ ；

⑵ $3 c \sqrt{\frac{2 a b}{5 c^{2}}} \div \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5 b}{2 a}}$ ；

⑶ $\frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b} - (\frac{\sqrt{a}}{a + \sqrt{a b}} - \frac{\sqrt{b}}{b - \sqrt{a b}}) \div \frac{\sqrt{a}}{b + \sqrt{a b}}$ ．

题目SH-061-009难度 C · 综合

题目SH-061-010

已知 $a = 4 + \sqrt{3}, b = 4 - \sqrt{3}$ ，求 $\frac{a}{a - \sqrt{a b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ 的值．

题目SH-061-011

先化简，再求值： $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} + x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x - \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \frac{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{y} \cdot \frac{x}{y}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}, y = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．

题目SH-061-012难度 C · 综合

化简：

⑴ $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{14} - \sqrt{15} - \sqrt{21}}{\sqrt{10} + \sqrt{14} + \sqrt{15} + \sqrt{21}}$ ；

⑵ $\frac{4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{7} + 2 \sqrt{11}}{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (\sqrt{11} - \sqrt{7})}$ ．

多重根式的化简

知识模块 03 · 原讲小节

配方法：形如 m ± n

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知识讲解定义、性质与方法

配方法是化简多重根式最常用的方法：

若 $m \pm \sqrt{n} = {(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}$ （其中 $m \geq 0, n \geq 0, a \geq 0, b \geq 0$ ），

则 $\sqrt{m \pm \sqrt{n}} = | \sqrt{a} \pm \sqrt{b} |$ ，此时 $a \pm b = m$ ， $2 \sqrt{a b} = \sqrt{n}$ ，即可解得 $a, b$ 的值．

（熟练之后可通过观察得到 $a, b$ 的值）

平方法：形如 $\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}}$

令 $x = \sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}}$ ，

则 $x^{2} = 2 a \pm 2 \sqrt{a^{2} - b}$ ，再开方后得到结果．

题目SH-061-013难度 B · 巩固

多重根式的化简：

⑴ $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

⑵ $\sqrt{4 - \sqrt{12}}$ ；

⑶ $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$ ；

⑷ $\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ ；

题目SH-061-014难度 C · 综合

化简：

⑴ $\sqrt{25 - 4 \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}}}$ ．

⑵ $2 \sqrt{3 + \sqrt{5 - \sqrt{13 + \sqrt{48}}}}$ ．

⑶ $\sqrt{1 + a^{2} + \sqrt{1 + a^{2} + a^{4}}}$ ．

题目SH-061-015难度 C · 综合

化简：

⑴ $\sqrt{4 + 2 (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{3})}$ ；

⑵ $\sqrt{13 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{35}}$ ．

题目SH-061-016难度 D · 提升

化简：

⑴ $\frac{1}{2} \sqrt{7 + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{2} \sqrt{7 - 3 \sqrt{5}}$ ；

⑵ $\sqrt{8 + 2 \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}} + \sqrt{8 - 2 \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}}$ ．

题目SH-061-017难度 C · 综合

已知 $x = 4 + 2 \sqrt{3}$ ， $y = 7 - 4 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{x - 4 y}{\sqrt{x} - 2 \sqrt{y}} - \frac{x + y + 2 \sqrt{x y}}{x + \sqrt{x y}} \div (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}})$ 的值．

题目SH-061-018

计算：

⑴ $2 \sqrt{0.5} - (\frac{1}{2} \sqrt{8} - \sqrt{12})$ ；

⑵ $- \frac{4}{3} \sqrt{18} \div (2 \sqrt{8} \times \frac{1}{3} \sqrt{54})$ ．

题目SH-061-019

计算：

⑴ $\sqrt{48} - \frac{\sqrt{54}}{2} + (3 - \sqrt{3}) (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$ ；

⑵ $(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (1 + \sqrt{2}) - {(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}})}^{2}$ ；

⑶ $\frac{a - b}{a} \sqrt{\frac{a^{2} - a b}{a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2}}} (a > b > 0)$ ．

题目SH-061-020

化简：

⑴ $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{a + b - 2 \sqrt{a b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ ；

⑵ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}} - \frac{y \sqrt{x} + x \sqrt{y}}{y \sqrt{x} - x \sqrt{y}}$ ．

题目SH-061-021

已知 $x = \sqrt{5} - 1$ ，求 $(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 (x - 1)}$ 的值．
化简：

⑴ $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ ； ⑵ $\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}$ ；

⑶ $\sqrt{16 - 6 \sqrt{7}}$ ； ⑷ $\sqrt{14 - 5 \sqrt{3}}$ ．

题目SH-061-022

用两种方法化简：

⑴ $\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ ； ⑵ $\sqrt{8 + \sqrt{63}} - \sqrt{8 - \sqrt{63}}$ ．

题目SH-061-023

化简： $\sqrt{23 - 6 \sqrt{10 + 4 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}}$ ．

题目SH-061-024

化简： $\sqrt{21 - 4 \sqrt{5} + 8 \sqrt{3} - 4 \sqrt{15}}$ ．

最简二次根式

同类二次根式

分母有理化

分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．