代数4-整式、分式、因式分解 · 第 033 讲

第10讲因式分解综合

11 道题6 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

四种基本方法

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知识讲解定义、性质与方法

1、提取公因式法：多项式 $m a + m b + m c$ 各项都含有公因式 $m$ ，可把公因式 $m$ 提到外面，

将多项式 $m a + m b + m c$ 写成 $m$ 与 $a + b + c$ 的乘积形式，此法叫做提取公因式法．

知识模块 02 · 原讲小节

提取公因式的步骤

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知识讲解定义、性质与方法

⑴找出多项式各项的公因式．

⑵提出公因式．

⑶写成 $m$ 与 $a + b + c$ 的乘积形式．

提取公因式法的几个技巧和注意点：

⑴一次提净．

⑵视“多”为“一”．

⑶切勿漏 $1$ ．

⑷注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．

⑸化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解．

⑹仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．

2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．

知识模块 03 · 原讲小节

⑴平方差公式

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知识讲解定义、性质与方法

由平方差公式反过来可得： $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ，这个公式叫做因式分解的平方差公式；

知识模块 04 · 原讲小节

⑵完全平方公式

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知识讲解定义、性质与方法

由完全平方公式反过来可得： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 和 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．

3、十字相乘法：如果二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 中的常数项 $q$ 能分解成两个因式 $a$ 、 $b$ 的积，而且一次项系数

$p$ 又恰好是 $a + b$ ，那么 $x^{2} + p x + q$ 就可以进行如下的分解因式，

即： $x^{2} + p x + q = x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$

要将二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 分解因式，就需要找到两个数 $a$ 、 $b$ ，使它们的积等于常数项 $q$ ，和等于一次项系数 $p$ , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即： $x^{2} + p x + q = x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．

这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．

4、分组分解法：

将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．

知识模块 05 · 原讲小节

因式分解复习

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题目SH-033-001难度 C · 综合

把下列各式因式分解：

⑴ $- 5 a^{2} b^{3} + 20 a b^{2} - 5 a b$ ；

⑵ $45 a^{3} b^{2} c + 9 a^{2} b c - 54 a^{2} b^{2} c$ ；

⑶ $x {(x - y)}^{2} - 2 {(y - x)}^{3}$ .

题目SH-033-002难度 C · 综合

把下列各式因式分解：

⑴ $a^{6} - 16 a^{2}$ ；

⑵ ${(a - b)}^{4} + a {(a - b)}^{3} + b {(b - a)}^{3}$ ；

⑶ $m^{2} (m - 1) - 4 {(1 - m)}^{2}$

⑷ $16 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ ．

题目SH-033-003难度 C · 综合

把下列各式因式分解：

⑴ $3 x^{2} + 7 x - 6$ ；

⑵ $a^{6} - 7 a^{3} b^{3} - 8 b^{6}$ ；

⑶ ${(x^{2} + x)}^{2} - 17 (x^{2} + x) + 60$ ；

⑷ ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - 7 (x^{2} + 2 x) - 8$ ．

题目SH-033-004难度 C · 综合

把下列各式分解因式：

⑴ $a x^{2} + a y^{2} - a b^{2} - 2 a x y$ ；

⑵ $13 m^{4} + m^{2} - 13 m - 1$ ；

⑶ ${(a x + b y)}^{2} + {(a y - b x)}^{2}$ ；

⑷ $x^{4} + 2 x^{3} + 6 x^{2} + 10 x + 5$ ．

知识模块 06 · 原讲小节

因式分解应用

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题目SH-033-005难度 B · 巩固

利用分解因式计算：

⑴ $16.8 \times \frac{7}{32} + 7.6 \times \frac{7}{16}$ =_____________；

⑵ $1.2 2^{2} \times 9 - 1.3 3^{2} \times 4$ =_____________；

⑶ $201 8^{2} + 324 - 36 \times 2018$ =_____________．

题目SH-033-006难度 C · 综合

已知三角形 $A B C$ ，三条边长分别为 $a, b, c$ .

⑴判断 ${(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ 的正负，并给出证明.

⑵若三条边长满足关系式 $b^{2} + 2 a b = c^{2} + 2 a c$ ,请判断三角形的形状.

题目SH-033-007难度 C · 综合

⑴已知 $a + b = 1$ ,求 $a^{3} + 3 a b + b^{3}$ 的值.

⑵已知 $a - b = 2$ ， $b - c = \frac{1}{2}$ ,求 $a^{2} + c^{2} - 2 a c + 3 a - 3 c + \frac{9}{4}$ 的值.

题目SH-033-008难度 C · 综合

用因式分解法解方程：

⑴ $x y + 2 x + 2 y = 6$ ，其中 $x, y$ 非负整数.

⑵ $x y + x + 2 y = 16$ ，其中 $x, y$ 为正整数.

题目SH-033-009难度 E · 挑战

证明：任意四个连续正整数的积与 $1$ 的和一定是一个完全平方数．

把下列各式因式分解：

⑴ $a^{2} - 4 a + 4$ ； ⑵ $4 m^{2} - 9 n^{2}$ ；

⑶ ${(a + 2 b)}^{2} - {(2 a + b)}^{2}$ ；⑷ $- x^{2} - 4 y^{2} + 4 x y$ ．

把下列各式因式分解：

⑴ ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x (x^{2} + 1) + 4 x^{2}$ ； ⑵ $x^{2} - 6 x y - 16 y^{2}$ ；

⑶ ${(x - y)}^{2} - 2 (y - x) - 80$ ； ⑷ $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - z^{2}$ ．

题目SH-033-010

利用因式分解简便计算：

⑴ $7.2 9^{2} - 2.7 1^{2} =$ ___________．

⑵ $991 \times 1009 =$ ___________；

⑶ $201 1^{2} - 4022 \times 2010 + 201 0^{2} =$ ___________．

题目SH-033-011

已知 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三边，且 $a^{4} + a^{2} c^{2} = b^{4} + b^{2} c^{2}$ ,试判断 $△ A B C$ 的形状.
已知 $x - 2 y = 3$ ， $x^{2} - 2 x y + 4 y^{2} = 11$ ，求 $x^{2} y - 2 x y^{2}$ 的值.
求方程 $x y = x + y$ 的整数解

分解因式： $2 {(p - 1)}^{2} - 4 q (p - 1)$
分解因式： $m n (m^{2} + n^{2}) - n^{2} (m^{2} + n^{2})$
分解因式： $a^{4} - 81 b^{4}$
分解因式： $- 81 a^{4} b^{4} + 16 c^{4}$
分解因式： $80 a^{3} x^{3} - 45 a x y^{2}$
分解因式： $3 x^{2} + 25 x + 8$
分解因式： $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x - 7$
分解因式： $x^{2} - a x y - b (b - a) y^{2}$
分解因式： $32 + 2 (2 x - 2 y) - {(x - y)}^{2}$
分解因式： $a x (y^{3} + b^{3}) + b y (b x^{2} + a^{2} y)$
分解因式： $a (a - 1) x^{2} - 2 a^{2} x + a (a + 1)$
分解因式： $x^{3} + p x^{2} + p x + p - 1$
分解因式： $a^{2} x^{4} + a b x^{3} + a^{2} x^{2} y + b^{2} x y^{2} + a b y^{3} - b^{2} y^{4}$