第7讲 一元一次不等式

⑴ 若$a>b$，则下列不等式中，不一定成立的是（ ）．

A．$a+3>b+3$； B．$-a<-b$； C．$a^2>b^2$； D．$\frac{a}{3}>\frac{b}{3}$．

⑵ 已知$3a>-6b$，则下列不等式一定成立的是（ ）．

A．$a+1>-2b-1$； B．$-a<b$； C．$3a+6b<0$； D．$\frac{a}{b}>-2$．

⑶ 下列不等式的变形不正确的是（ ）．

A．若$a>b$，则$a+3>b+3$； B．若$-a>-b$，则$a<b$；

C．若$-\frac{1}{2}x<y$，则$x>-2y$； D．若$-2x>a$，则$x>-\frac{1}{2}a$．

⑷ 根据$a>b$，则下面哪个不等式不一定成立（ ）．

A．$a+c^2>b+c^2$； B．$a-c^2>b-c^2$；

C．$a{c}^2>b{c}^2$； D．$\frac{a}{c^2+1}>\frac{b}{c^2+1}$．

⑴ 如果$x>2$，那么下列四个式子中：

① $x^2>2x$；② $xy>2y$；③ $2x>x$；④ $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$中正确的式子共有（）．

A．$4$个；B．$3$个； C．$2$个；D．$1$个．

⑵ 如果$a>b$且$c<0$，那么在下面不等式中：① $a+c>b+c$；②$ac>bc$；③ $-\frac{a}{c}>-\frac{b}{c}$；

④ $a{c}^2<b{c}^2$，成立的个数是（）．

A．$1$个； B．$2$个； C．$3$个； D．$4$个．

⑶ 已知$a\ne 0$，下面给出四个结论中：① $a^2+1>0$；② $1-a^2<0$；③ $\frac{1}{a^2}+1>1$；④ $1-\frac{1}{a^2}<1$，

其中，一定成立的有（）个．

A．$4$个； B．$3$个； C．$2$个； D．$1$个．

解一元一次不等式

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

例如：$-4$，$-2$，$0$，$1$，$2$都是不等式$x\le 2$的解，当然它的解还有许多．

不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集．

【注意】一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的所有未知数的值组成的解集，解集包括了每一个解．

不等式的解集可以用数轴来表示（示意图如下）．

不等式的解集	在数轴上表示的示意图	不等式的解集	在数轴上表示的示意图
$x>a$		$x<a$
$x\ge a$		$x\le a$

用数轴可直观地反映不等式的解集．此处不但要注意表示方向，更要注意的是端点的表示，端点一定要画在数轴上，并且规定：不包含端点时用空心圈表示，包含端点时用实心圈表示．

3. 一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．

4. 一元一次不等式的解法：

①去分母，不等号两边各项都要乘以同一个数，不要漏乘不带分母的项

②去括号，去括号要注意各项的符号变与不变；

③移项，不要忘记变号；

④化成$ax>b$（或$ax<b$等）的形式（其中$a\ne 0$）

⑤两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．

不等式的解通常用解集的形式表示．

【注意】在去分母或系数化为$1$时，若不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．

一元一次不等式的特殊解：

不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特殊解，如求整数解、正数解、非负整数解、最大正数解等，解答这类问题关键是明确解的特征．

解与解集的概念

⑴ 对于不等式$2x-5>0,$下列语句正确的是（）．

A．$x=\frac{5}{2}$是不等式的解； B．$x=3$是不等式的解；

C．因为$x=3$是不等式的解，所以这个不等式的解就是$x=3$；

D．因为大于$3$的数都是不等式的解，所以这个不等式的解集是$x>3$ ．

⑵ $x<4$是不等式$7x-4<6x$的解集，则下列说法正确的有（）．

① $x=4$是不等式$7x-4<6x$的一个解；

② $x=0$是不等式$7x-4<6x$的一个解；

③ $x<3$也是不等式$7x-4<6x$的解集；

④ 所有小于$3$的数都是不等式$7x-4<6x$的解．

A．$1$个； B．$2$个； C．$3$个； D．$4$个．

⑴ 下列不等式中是一元一次不等式的有（）．

①$a>0$；②$5x+3y>0$；③$x+2>0$；④$\left|x-y\right|\le 3$；⑤$3(1-m)\le 2(m+9)$；

⑥$x^2=3$；⑦$\frac{x-1}{2}>x+4$；⑧$x>\frac{1}{3}x-2$；⑨$x+5$；⑩$\frac{1}{x}>2$;⑪$-2x+9>2\left(3-x\right)$

A． $3$个； B． $4$个； C． $5$个； D． $6$个．

⑵ 已知不等式$15-\left(m-1\right)x^{\left|m\right|}\le 1$是关于$x$的一元一次不等式，则$m=$ ．

⑶ 已知$3\left(x-1\right)\le m{x}^2+nx-3$是关于$x$的一元一次不等式，求$m,n$的取值．

解下列不等式：

⑴ $3x>2(x-1)+2$；⑵ $\frac{2x-1}{3}<\frac{3x-4}{2}$；

⑶ $10-4(x-4)\le 2(x-1)$；⑷ $\frac{4+x}{2}+1\ge \frac{4\left(x+1\right)}{3}$；

⑸ $4x-2+\frac{1}{x-5}>\frac{1}{x-5}+3x+2$．

解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：

⑴ $2\times \left(0.4-\frac{x}{2}\right)-2.1>\frac{x}{2}+0.25$；⑵ $\frac{0.4x+0.9}{0.5}-\frac{0.03+0.02x}{0.03}>1+\frac{x-5}{2}$；

⑶ $-\frac{1}{3}\left\{\frac{4}{5}\left[-\frac{1}{2}\left(x-3\right)-2\right]-8\right\}>4$．

⑴ 已知代数式$3-\frac{3x}{2}$的值不小于$\frac{5}{8}-\frac{4x-3}{6}$的值，求正整数$x$的值．

⑵ 求不等式$\frac{7}{3}x-\frac{11}{6}\left(x+3\right)>\frac{0.03x-0.01}{0.05}-\frac{1.3-0.1x}{0.2}$的非负整数解．

不等式解答题

对于任意实数$a$，$b$，定义关于$@$的一种运算如下：$a@b=2a-b$，例如：$5@3=10-3=7$，$(-3)@5=-6-5=-11$．

⑴ 若$x@3<5$，求$x$的取值范围；

⑵ 已知关于$x$的方程$2(2x-1)=x+1$的解满足$x@a<5$，求$a$的取值范围．

试通过讨论比较$-2a+1$，$-3a+1$的大小．

不等式$x+2+\frac{1}{x-6}>7+\frac{1}{x-6}$的解集是__________．

解不等式：$\left(3-x\right)-\left\{5+\left[2x-\left(x+1\right)\right]\right\}<1$．

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是$2$的方程，叫做一元二次方程，如：$x^2-2x+1=0$．已知关于$x$的一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$表示已知量，$a\ne 0$）的解的情况是：①当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的解；②当$b^2-4ac=0$，方程有两个相等的解；③当$b^2-4ac<0$，方程没有解；问：

⑴ 一元二次方程$2x^2-4x+5=0$有几个解？为什么？

⑵ （填空题）当$a$_______时，关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+\left(a-2\right)=0$有两个不相等的解．

某学校在评定学期总分时，期中考试成绩占$40\mathrm{\%}$，期末考试成绩占$60\mathrm{\%}$，一个学生数学期中考试成绩是$85$分，希望自己学期总评成绩在$90$分以上，他在期末考试时至少应得多少分？他的总评成绩最高可能是几分？（考试成绩分值为整数）

⑴ 设$a$，$b$，$c$都是实数，且满足：用$a$去乘不等式的两边，不等号方向不变；用$b$去除不等式的两边，不等号方向改变；用$c$去乘不等式的两边，不等号要变成等号．则$a$、$b$、$c$的大小关系是（）

A．$a>b>c$； B．$a>c>b$； C．$b>c>a$； D．$c>a>b$．

⑵ 已知$a>b$，则下列不等式必定成立有（）

① $ac>bc$；② $a^2>b^2$；③ $a^3>a^{2}b$；④ $\frac{a}{-1-\left|x\right|}<\frac{b}{-1-\left|x\right|}$

A．$0$个； B．$1$个； C．$2$个； D．$3$ 个．

⑶ 如果$a>b$，则下面哪个不等式一定成立（）

A．$-a>-b$； B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$； C．$a+b>2b$； D．$a^2>ab$．

解下列不等式：

⑴ $2x-1<3x+2$； ⑵ $3\left(x+2\right)-8\ge 1-2\left(x-1\right)$；

⑶ $\frac{y+3}{2}\le \frac{3}{4}\left(2y-5\right)$； ⑷ $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}x\right)\ge \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}x-1\right)-1$．

解下列不等式：

⑴ $\frac{1.2-2x}{0.2}-\frac{1.5-2.5x}{0.5}-\frac{x-5}{4}<\frac{1}{2}$； ⑵ $\frac{0.4x+0.9}{0.5}-\frac{x-5}{2}\ge \frac{0.02x+0.03}{0.03}$．

⑴ 不等式$2x-7<5-2x$的正整数解有（）个．

A．$1$； B．$2$； C．$3$； D．$4$．

⑵ 不等式$2x+1\le 5$的正整数解为_________．

⑶ 求不等式$x-\frac{3x-5}{2}\ge \frac{2(10-x)}{7}-1$的非负整数解．

5. 代数式$\frac{4x+5}{3}$的值有可能不小于$\frac{5}{6}-\frac{1-x}{2}$的值吗？若有可能，求出$x$的取值范围，并求出这时$x$的最小值；若没有可能，请说明理由．

6. 定义一种法则“$\oplus$”如下：$a\oplus b=\{\begin{array}{c}a(a>b)\\ b(a⩽b)\end{array}$，例如：$1\oplus 2=2$，若$(-2m-5)\oplus 3=3$，则$m$的取值范围是________．

选择：

⑴ 一元一次不等式$-3x-1>2$的解集在数轴上表示为$($　　$)$

A．； B．；

C．； D．．

⑵ 若关于$x$的方程$2x+2=m-x$的解为负数，则$m$的取值范围是$($　　$)$

A．$m>2$； B．$m<2$； C．$m>\frac{2}{3}$； D．$m<\frac{2}{3}$．

⑶ 若$m>n$，则下列不等式正确的是$($　　$)$

A．$m+2<n+2$； B．$m-2<n-2$； C．$-2m<-2n$； D．$m^2>n^2$

⑷ 已知$a<b$，下列式子不成立的是$($　　$)$

A．$a-5<b-5$； B．$3a<3b$； C．$-a+1<-b+1$ ； D．$-\frac{1}{2}a>-\frac{1}{2}b$．

⑸ 下列不等式中，变形不正确的是$($　　$)$

A．若$a>b$，则$b<a$； B．若$a>b$，则$a+c>b+c$；

C．若$a{c}^2>b{c}^2$，则$a>b$； D．若$-x>a$，则$x>-a$．

⑹ 如果不等式$(2-a)x<a-2$的解集为$x>-1$，则$a$必须满足的条件是$($　　$)$

A．$a>0$ ； B．$a>2$； C．$a\ne 1$ ； D．$a<1$

⑺ 设$m$、$n$是实数，$a$、$b$是正整数，若$(m+n)a⩾(m+n)b$，则$($　　$)$

A．$m+n+a⩾m+n+b$ ； B．$m+n-a⩽m+n-b$；

C．$\frac{a}{m+n}⩾\frac{b}{m+n}$； D．$\frac{m+n}{a}⩽\frac{m+n}{b}$．

⑻ 已知$(k+3)x^{\left|k\right|-2}+5<k-4$是关于$x$的一元一次不等式，则不等式的解集是$($　　$)$

A．$x<1$； B．$x<-1$； C．$x<2$； D．$x>-1$．

⑼ 已知关于$x$的不等式$(a-2)x>1$的解集为$x<\frac{1}{a-2}$，则$a$的取值范围$($　　$)$

A．$a>2$； B．$a⩾2$； C．$a<2$ D．$a⩽2$．

⑽ 下列不等式变形中，错误的是$($　　$)$

A．若$a⩾b$，则$a+c⩾b+c$； B．若$a+c⩾b+c$，则$a⩾b$；

C．若$a⩾b$，则$a{c}^2⩾b{c}^2$ ； D．若$a{c}^2⩾b{c}^2$，则$a⩾b$．

解下列不等式：

⑴ $3(x+1)<4(x-2)-5$； ⑵ $\frac{x}{3}>1-\frac{x-3}{6}$；

⑶ $\frac{2x+3}{4}>\frac{-5x-27}{16}$； ⑷ $\frac{x-2}{10}-2\le 2x-\frac{4}{5}$；

⑸ $2(x-1)+5<3x$； ⑹ $4-\frac{2x-1}{3}<\frac{x+4}{2}$；

⑺ $y-\frac{y-1}{2}>2+\frac{y-3}{5}$； ⑻ $x-\frac{x+1}{3}\ge 1-\frac{2-x}{2}$．

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．

⑴ $4(x-3)+8⩾0$； ⑵ $\frac{2+x}{2}⩾\frac{2x-1}{3}+1$；

⑶ $\frac{x+5}{2}-1<\frac{3x+2}{2}$； ⑷ $\frac{x-2}{3}-\frac{3x+5}{2}⩾x-\frac{2-x}{3}$．

4. 解不等式$x-1<\frac{2x-1}{3}$，并写出它的所有非负整数解．

5. 求满足不等式：$\frac{3}{4}x+4\ge \frac{7}{4}x+2$的正整数解．

6. 解不等式$\frac{x+1}{2}>\frac{2x+1}{3}-1$，并写出它的所有正整数解．

7. 求满足不等式$\frac{2x-5}{3}<\frac{6x-1}{4}$的最小整数．

8. 已知$a<0$，求不等式$-ax>5a$的负整数解．