第17讲二次函数（五）

知识模块 01 · 原讲小节

二次函数（五）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

2 0 2 1 宝山
【 $2021$ 宝山】

已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 经过 $A (4, 0)$ 、 $B (- 1, 3)$ 两点，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 与点 $B$ 关于抛物线的对称轴对称，联结 $B C$ 、 $B D$ .

⑴求该抛物线的表达式以及对称轴；

⑵点 $E$ 在线段 $B C$ 上，当 $∠ C E D = ∠ O B D$ 时，求点 $E$ 的坐标；

⑶点 $M$ 在对称轴上，点 $N$ 在抛物线上，当以点 $O$ 、 $A$ 、 $M$ 、 $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时．求这个平行四边形的面积．（此问不放学生版）

题目SH-081-001

【 $2021$ 虹口】

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ 、 $B$ 两点．

⑴当该抛物线经过点 $C$ 时，求该抛物线的表达式；

⑵在⑴题的条件下，点 $P$ 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当 $∠ P B C = ∠ A C B$ 时，求点 $P$ 的坐标；

⑶如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点 $D$ 位于 $△ B O C$ 内，求 $a$ 的取值范围．（此问不放学生版）

题目SH-081-002

【 $2021$ 青浦】

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ 和点 $B (2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

⑴求该抛物线的表达式及点 $C$ 的坐标；

⑵如果点 $D$ 的坐标为 $(- 8, 0)$ ，联结 $A C$ 、 $D C$ ，求 $∠ A C D$ 的正切值；

⑶在⑵的条件下，点 $P$ 为抛物线上一点，当 $∠ O C D = ∠ C A P$ 时，求点 $P$ 的坐标．

【 $2021$ 长宁】

题目SH-081-003

己知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过点 $A (- 3, - 6)$ 、 $B (6, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

⑴求抛物线的表达式；

⑵点 $D$ 是抛物线上的点，且位于线段 $B C$ 上方，联结 $C D$ .

①如果点 $D$ 的横坐标为 $2$ ，求 $c o t ∠ D C B$ 的值；

②如果 $∠ D C B = 2 ∠ C B O$ ，求点 $D$ 的坐标.

题目SH-081-004

【 $2021$ 奉贤】

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 2)$ ，点 $C$ 在该抛物线上且在第一象限．

⑴求该抛物线的表达式；

⑵将该抛物线向下平移 $m$ 个单位，使得点 $C$ 落在线段 $A B$ 上的点 $D$ 处，当 $A D = 3 B D$ 时，求 $m$ 的值；

⑶联结 $B C$ ，当 $∠ C B A = 2 ∠ B A O$ 时，求点 $C$ 的坐标．

题目SH-081-005

【 $2021$ 松江】

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 经过点 $A (2, 0)$ 和 $B (- 1, - 1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

⑴求这个抛物线的表达式；

⑵如果点 $P$ 是抛物线位于第二象限上一点， $P C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ， $\frac{P D}{D C} = \frac{2}{3}$ .

①求 $P$ 点坐标；②点 $Q$ 在 $x$ 轴上，如果 $∠ Q C A = ∠ P C B$ ，求点 $Q$ 的坐标．

题目SH-081-006

如图，将抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + 4$ 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点 $C$ ，新抛物线与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ，联结 $B C$ ， $t a n B ＝ 4$ ，设新抛物线与 $x$ 轴的另一交点是 $A$ ，新抛物线的顶点是 $D$ ．

⑴求点 $D$ 的坐标；

⑵设点 $E$ 在新抛物线上，联结 $A C$ ， $D C$ ，如果 $C E$ 平分 $∠ D C A$ ，求点 $E$ 的坐标．

题目SH-081-007

在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a \neq 0)$ 的图像经过点 $A (0, - 3)$ 、 $B (1, 0)$ 、 $C (3, 0)$ ，联结 $A B$ 、 $A C$ ．

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵点 $D$ 是线段 $A C$ 上的一点，联结 $B D$ ，如果 $S_{△ A B D} : S_{△ B C D} = 3 : 2$ ，求 $t a n ∠ D B C$ 的值．

题目SH-081-008

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，点 $A$ 的坐标为 $（ 1, 0 ）$ ．

⑴求该抛物线的表达式及顶点坐标；

⑵点 $P$ 为抛物线上一点（不与点 $A$ 重合），联结 $P C$ ．当 $∠ P C B ＝ ∠ A C B$ 时，求点 $P$ 的坐标．

题目SH-081-009

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A （ - 1, 0 ）$ ， $B （ 3, 0 ）$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

⑴求抛物线的表达式；

⑵联结 $A C$ 、 $B C$ ，求 $∠ A C B$ 的正切值；

题目SH-081-010

如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (3, 0)$ ，点 $B (0, 3)$ ．点 $M (m, 0)$ 在线段 $O A$ 上（与点 $A$ ， $O$ 不重合），过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线与线段 $A B$ 交于点 $P$ ，与抛物线交于点 $Q$ ，联结 $B Q$ ．

⑴求抛物线表达式；

⑵联结 $O P$ ，当 $∠ B O P = ∠ P B Q$ 时，求 $P Q$ 的长度；