第5讲圆与扇形轨迹问题

题目SH-097-001难度 A · 基础

如图，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ，现将长方形 $A B C D$ 绕 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到图中实线所示位置，画出图中 $D$ 点经过的路径，并求出经过的路程长是多少？

题目SH-097-002难度 C · 综合

如图，边长为 $1 c m$ 的等边三角形 $A B C$ ，在直线 $l$ 上作逆时针翻转到达图中最左边的位置，求点 $B$ 所经过的路程是多少厘米？（精确到 $0.01$ 厘米）

题目SH-097-003难度 E · 挑战

已知长方形 $A B C D$ 的长 $A B = 4$ ，宽 $A D = 3$ ，对角线 $A C = 5$ ，按如图放置在直线 $A P$ 上，然后不滑动地转动，当它转动一周时，顶点 $A$ 所经过的路线长度是多少？（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-004难度 C · 综合

如图，长方形 $A B C D$ 中 $A C = 8$ ，现将长方形 $A B C D$ 绕 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到图中实线所示位置，画出 $A C$ 扫过的图形，并求出这图形的面积．

题目SH-097-005难度 C · 综合

如图，四边形 $A B C D$ 是一个长为 $8$ ，宽为 $6$ ，对角线为 $10$ 的长方形，将它绕 $C$ 点顺时针方向旋转 $90 °$ ，图中阴影为线段 $A B$ 扫过的面积，求阴影部分面积．

题目SH-097-006难度 D · 提升

背景：近年来,随着我国综合国力的提高，机动车数量显著提升，但随之而来也造成了交通事故频发这一后果．其中，“内轮差”已经成为了其中的一大主要原因．

所谓“内轮差”，就是车辆转弯时内前轮转弯半径与内后轮转弯半径之差．当车身长度很长时，形成的“内轮差”越大，那么转弯时的危险区域也就越大．我们在遇到大型车辆的时候一定要注意这一现象，避免发生意外．

问题：下图是这一现象的简化图:长方形 $A B C D$ 表示一辆大卡车，其中车长 $A D$ 约 $12$ 米，宽 $C D$ 约 $2.5$ 米．在转弯过程中，整个车身可以近似看作绕着同一个圆心做圆周运动．已知在一位老司机的某次转弯中，内前轮（ $A$ 点）的转弯半径 $O A$ 为 $15$ 米，内后轮（ $D$ 点）的转弯半径 $O D$ 为 $5$ 米，如果旋转 $60 °$ ，那么此时的内轮差危险区域的面积是多少？（结果精确到 $0.1 m^{2}$ ）

题目SH-097-007难度 D · 提升

如图，一只羊被 $8$ 米长的绳子拴在正三角形建筑物的一个顶点上，正三角形建筑物边长是 $6$ 米，周围都是草地，则这头羊吃到的草地面积是多少？（结果保留 $π$ ）（提示：正三角形每个内角为 $60 °$ ）

如图，一只羊被 $8$ 米长的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，正五边形建筑物边长是 $4$ 米，周围都是草地，则这头羊吃到的草地面积是多少？（结果保留 $π$ ）（提示：正五边形每个内角为 $108 °$ ）

圆扫过面积问题

当圆无滑动地滚动时，无论是沿着直线滚动，亦或是沿着复杂图形的表面滚动，想要搞清楚圆上每个点的运动轨迹是相当复杂的．所以我们重点关注圆心的运动轨迹，其运动轨迹，可以按照以下四种情形进行简化：

⒈圆在一条直线上面运动时：

如图，圆心的轨迹是一条线段，而整个阴影部分则是圆在运动过程中所能覆盖的面积，可以分为一个圆形和一个长方形的面积之和．

⒉圆在一条折线外部运动时：

如图，圆心的轨迹可以分为直线部分和折点部分，当在直线上面运动时，运动情况和之前的相同；当在折点部分时，圆心以折点为圆心，进行圆周运动，整个轨迹是一条圆弧．

图中阴影部分为圆在运动过程中覆盖的面积，分为一个圆形、两个长方形和一个扇形的面积之和．

⒊圆在一条折线内部运动时：

如图，圆心的轨迹是两条线段．图中阴影部分为圆在运动过程中覆盖的面积．

从图中可以发现，轨迹的长度和覆盖面积都和折线的夹角有关，而且折点部分会出现重叠面积．因此，对于一般的角度来说，由于我们相关知识尚未掌握，故不作要求,只需要掌握夹角为直角的情况．

⒋圆在半圆形的表面运动时：

如图，当圆在圆形表面运动时，圆心轨迹是一段圆弧；当圆在直径上面运动时，轨迹是一条线段；当圆在折点部分运动时，此时圆心以折点为圆心，进行圆周运动，运动轨迹是一段圆弧．

图中阴影部分为圆所覆盖的面积，为圆环的一部分、两个扇形和一个长方形的面积之和．

题目SH-097-008难度 C · 综合

扫地机器人，是智能家用电器的一种，能凭借一定的人工智能，自动在房间内完成地板清理工作，机身为无线机器，以圆盘形为主，依不同厂商设定而走不同路线，有规划清扫区域．

$滑稽脸-01.jpg$

有一个半径为 $10$ 厘米的圆盘形机器人，现在在一个边长为 $100$ 厘米的正方形容器中，机器人贴着容器的内侧清扫，走过一圈后回到了出发点，求其清洁的面积．

题目SH-097-009难度 D · 提升

又是这个机器人，在一个边长为 $10$ 米等边三角形建筑物外，机器人贴着墙壁的外侧清扫，走过一圈后回到了出发点，求其清洁的面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-010难度 D · 提升

最后一次，还是这个机器人贴着一个半径为 $0.2$ 米的半圆形圆柱外侧清扫一周又回到原来的位置时，清洁面积是多少？

圆的自转圈数问题【拓展内容】

圆的自转圈数 $=$ 圆心移动距离 $\div$ 圆的周长．

题目SH-097-011难度 B · 巩固

小光从家骑车到学而思上课，已知小光的家到学而思距离为 $1.884$ 千米，自行车轮直径为 $0.6$ 米．则⑴：小光从家骑车到学而思的过程中，车轮转了多少圈？

⑵：若小光从家骑车到学而思用时 $8$ 分钟，则车轮平均每分钟转多少圈？

题目SH-097-012难度 C · 综合

如图，有两枚大小完全相同的硬币如图摆放，硬币 $B$ 在硬币 $A$ 上方，硬币的半径为 $1 c m$ ，现将硬币 $B$ 绕着硬币 $A$ 无滑动的滚动一圈回到原位置，问：在上述滚动的过程中，硬币 $B$ 滚过的路程是多少？自转的圈数又是多少？滚过路程改为硬币 $B$ 圆心

题目SH-097-013难度 C · 综合

如图所示，一个一元硬币绕排列好的两个硬币无滑动的滚动一圈回到原来的位置，已知硬币的直径为 $3 c m$ ，其圆心行进的路径长度为多少？该硬币自转了几圈？

题目SH-097-014

如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 5$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，将 $△ A B C$ 绕 $B$ 点逆时针旋转 $120 °$ ，求 $A C$ 边扫过的面积（ $π$ 取 $3.14$ ）．

题目SH-097-015

如图，已知一只羊被绳子拴在长 $4$ 米，宽 $2$ 米的长方形水泥台 $A B C D$ 的一个顶点 $A$ 上，水泥台周围都是草地．

⑴若绳长 $4$ 米，求羊能吃到草的面积；

⑵若羊被绳子拴在 $A B$ 边上距 $A$ 点 $1$ 米的 $E$ 处，绳子长 $6$ 米，求羊能吃到草的面积．

题目SH-097-016

如图所示的一张纸片是由以 $A B$ 为直径的半圆形与长方形 $A B C D$ 构成， $A B = 18 c m$ ， $B C = 30 c m$ ，一个半径为 $1 c m$ 的硬币沿着该纸片边缘外围从位置 $A$ 出发，以 $A \to B \to C \to D \to A$ 方向滚动，最终滚回原来位置停止．

⑴求硬币从位置 $A$ 到位置 $B$ ，硬币的圆心经过的路程；

⑵求硬币在整个滚动的过程中，硬币所经过的面积．

题目SH-097-017

如图是一个直径为 $4 c m$ 的圆，让这个圆沿着一个方向平移一个半径的长度，到达了一个新的位置，则阴影部分的面积为________ $c m^{2}$ ．（圆周率按 $3$ 计算）．

正方形网格中， $△ A B C$ 为格点三角形（顶点都是格点），将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ．

$（ 1 ）$ 在正方形网格中，作出 $△ A B_{1} C_{1}$ ;(不要求写作法)

$（ 2 ）$ 设方格小正方形的边长为 $1 c m$ ，用阴影表示出旋转过程中线段 $B C$ 所扫过的图形，并求出它的面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-018

如图，光光将他家的一头牛拴在如图所示的墙角处，已知绳长 $7$ 米，墙角周围都是草地，求牛可以吃到草的面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-019

⑴ 下图中大圆周长是小圆周长的 $n (n > 1)$ 倍，当小圆在大圆内侧无滑动地滚动一圈又回到原来的位置时，小圆圆心走过的路程为小圆周长的倍．

题目SH-097-020

⑵ 下图中大圆周长是小圆周长的 $n (n > 1)$ 倍，当小圆在大圆外侧无滑动地滚动一周到圆来的位置时，小圆圆心走过的路程为小圆周长的倍．

⑴下图中大圆周长是小圆周长的 $n (n > 1)$ 倍，当小圆在大圆内侧无滑动地滚动一圈又回到原来的位置时，小圆绕自己的圆心转动了_______圈．

题目SH-097-021

⑵下图中大圆周长是小圆周长的 $n (n > 1)$ 倍，当小圆在大圆外侧无滑动地滚动一周到圆来的位置时，小圆绕自己的圆心转了_______圈．

如图，把边长为 $3$ 的正三角形放在直线上，让三角形绕顶点 $C$ 顺时针转动，以此类推，使 $A$ 到达 $A''$ 处，求 $A$ 点走过的路程．（精确到 $0.01$ ）

⑴如图①，若 $A B = 2 c$ （ $c$ 为圆的周长），则 $⊙ O$ 从 $A$ 无滑动地滚到 $B$ ，自转_______周；若 $A B = l$ ，则 $⊙ O$ 自转_______周．在图②中，若 $∠ A B C = 120 °$ ,则 $⊙ O$ 在点 $B$ 自转_______周．

⑵如图③， $∠ A B C = 90 °$ , $A B = B C = \frac{1}{2} c$ ． $⊙ O$ 从 $⊙ O_{1}$ 的位置出发，在 $∠ A B C$ 外部沿 $A - B - C$ 滚动到 $⊙ O_{4}$ 的位置， $⊙ O$ 自转_______周．

图③

图②

图①

题目SH-097-022

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A B' C'$ ，则线段 $B C$ 扫过的面积是_____________．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-023

如图，还是昨天的光光，他不放牛了，改放羊，他将一只羊拴在边长为 $4$ 米的等边三角形水泥台 $A B C$ 的一个顶点 $A$ 上，已知绳长 $6$ 米，求羊的活动范围面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-024

如图， $△ A B C$ 的周长为 $l$ ，圆的周长为 $c$ ， $⊙ O$ 从与 $A B$ 相切于点 $D$ 的位置出发，在 $△ A B C$ 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 $A B$ 相切于点 $D$ 的位置， $⊙ O$ 自转了周．

题目SH-097-025

如图，水平地面上有一圆心角为 $300 °$ 的灰色扇形 $O A B$ ，其中 $O A = 6 c m$ ，且 $O A$ 垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点 $B$ 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，求点 $O$ 移动的距离．

题目SH-097-026

如图，一个直径为 $3 c m$ 的半圆，让这个半圆以 $A$ 点为圆心沿着逆时针方向旋转 $60 °$ ，此时 $B$ 点移动到 $B'$ 点，求弧线 $\overset{⌢}{A B}$ 扫过的面积．

题目SH-097-027

如图，依然还是光光，他家今天新买了一只狗，现在他将狗拴在正方形建筑物的一边中点 $A$ 点处，已知正方形边长为 $6$ 米，绳长 $10$ 米，求狗狗的活动范围．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-028

如图，扫地机器人（半径 $10 c m$ ）升级了（现在是尊享版扫地机器人），可以完成更复杂的任务，现绕着如图所示的建筑一圈，已知建筑由正方形和等边三角形构成，且边长为 $10 m$ ，求扫地机器人扫过的面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-029

三枚半径为 $1 c m$ 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，现将一枚硬币（图中有圆心的圆）沿着它们的外轮廓滚动后回到原来的位置，那么硬币圆心行进的路径长度为多少？该硬币自转了几圈？（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-030

一个半径为 $1$ 厘米的圆盘沿着一个半径为 $4$ 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆中心绕大圆中心旋转 $9 0^{°}$ 后（如图所示），小圆盘运动过程中扫过的面积是多少？
如图，一只羊被 $7 m$ 的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，建筑物边长是 $3 m$ ,周围都是草地，这只羊能吃到草的面积是多少平方米？（结果保留 $π$ ，提示：正五边形的一个内角为 $108 °$ ）

题目SH-097-031

如图，依然是尊享版扫地机器人（半径 $10 c m$ ），它沿着图中“凸”字形的内壁滚动一圈又回到原地．扫地机器人扫过的面积是多少平方厘米？（图中的单位为厘米， $π$ 取 $3.14$ ）

题目SH-097-032

如图， $15$ 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到初始位置．问：这枚硬币自转了多少圈？

题目SH-097-033

如图所示，点 $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线的交点， $O C$ 长为 $R$ ，若正方形 $A B C D$ 沿直线 $l$ 向右滚动（无滑动），当正方形滚动四次时，点 $O$ 经过的路径长是多少？

题目SH-097-034

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A B' C'$ ，则线段 $B C$ 扫过的面积是_____________．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-035

如图，还是昨天的光光，他不放牛了，改放羊，他将一只羊拴在边长为 $4$ 米的等边三角形水泥台 $A B C$ 的一个顶点 $A$ 上，已知绳长 $6$ 米，求羊的活动范围面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-036

如图，水平地面上有一圆心角为 $300 °$ 的灰色扇形 $O A B$ ，其中 $O A = 6 c m$ ，且 $O A$ 垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点 $B$ 刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，求点 $O$ 移动的距离．

题目SH-097-037

如图所示，点 $O$ 为等边 $△ A B C$ 的中心， $O C$ 长为 $R$ ，若等边 $△ A B C$ 沿直线 $l$ 向右滚动（无滑动），当等边 $△ A B C$ 滚动三次时，点 $O$ 经过的路径长是多少？

题目SH-097-038

如图，一个直径为 $3 c m$ 的半圆，让这个半圆以 $A$ 点为圆心沿着逆时针方向旋转 $60 °$ ，此时 $B$ 点移动到 $B'$ 点，求弧线 $\overset{⌢}{A B}$ 扫过的面积．

题目SH-097-039

如图，依然还是光光，他家今天新买了一只狗，现在他将狗拴在正方形建筑物的一边中点 $A$ 点处，已知正方形边长为 $6$ 米，绳长 $10$ 米，求狗狗的活动范围．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-040

如图，扫地机器人（半径 $10 c m$ ）升级了（现在是尊享版扫地机器人），可以完成更复杂的任务，现绕着如图所示的建筑一圈，已知建筑由正方形和等边三角形构成，且边长为 $10 m$ ，求扫地机器人扫过的面积．（结果保留 $π$ ）

题目SH-097-041

如图所示，点 $O$ 为正五边形 $A B C D E$ 的中心， $O D$ 长为 $R$ ，若正五边形 $A B C D E$ 沿直线 $l$ 向右滚动（无滑动），当正五边形滚动五次时，点 $O$ 经过的路径长是多少？（提示：正五边形的一个内角为 $108 °$ ）

题目SH-097-042

一个半径为 $1$ 厘米的圆盘沿着一个半径为 $4$ 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆中心绕大圆中心旋转 $9 0^{°}$ 后（如图所示），小圆盘运动过程中扫过的面积是多少？
如图，一只羊被 $7 m$ 的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，建筑物边长是 $3 m$ ,周围都是草地，这只羊能吃到草的面积是多少平方米？（结果保留 $π$ ）（提示：正五边形的一个内角为 $108 °$ ）

题目SH-097-043

如图，依然是尊享版扫地机器人（半径 $10 c m$ ），它沿着图中“凸”字形的内壁滚动一圈又回到原地．扫地机器人扫过的面积是多少平方厘米？（图中的单位为厘米， $π$ 取 $3.14$ ）

28/培优体系 9年级尖子班