几何4-相似与三角 · 第 129 讲

第1讲比例线段（一）

19 道题2 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

比例线段的定义

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-129-001

如果线段 $a : b = c : d$ （或 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ），那么就说线段 $a 、 b 、 c 、 d$ 成比例．

其中 $a$ 、 $d$ 是比例外项，线段 $b$ 、 $c$ 是比例内项，线段 $d$ 是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的第四比例项．

若 $a : b = b : c$ ，则 $b$ 是 $a$ 、 $c$ 的比例中项
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

比例线段的性质（注：运用时，分母不能为零！）

名称	文字叙述		举例
比例基本性质	$a : b = c : d$ $\Leftrightarrow$ $a d = b c$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\Leftrightarrow$ $a d = b c$		$1 : 2 = 4 : 8$ $\Leftrightarrow$
反比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$
更比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 如果 $a : b = c : d$ ，那么 $a : c = b : d$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $1 : 2 = 4 : 8$ $\Leftrightarrow$
合比性质	合比	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ , $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$	$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$
合比性质	合分比	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ （且 $a \neq b$ ， $c \neq d$ ），那么 $\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}$	$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$
等比性质	如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $= \dots = \frac{m}{n} = k$ ，且 $b + d + \dots + n \neq 0$ 那么 $\frac{a + c + \dots + m}{b + d + \dots + n} = k$		$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ $\Leftrightarrow$

注：使用比例性质时，务必保证分母不为零，若不确定，则分类讨论．

黄金分割

如果点 $P$ 把线段 $A B$ 分割成 $A P$ 和 $P B$ （ $A P > P B$ ）两段，其中 $A P$ 是 $A B$ 和 $P B$ 的比例中项（ $\frac{A B}{A P} = \frac{A P}{P B}$ ），那么称这种分割为黄金分割，点 $P$ 称为线段 $A B$ 的黄金分割点．而 $\frac{A P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ,这个值称为黄金分割数（黄金数）．

一般来说，一条线段的黄金分割点有两个．

题目SH-129-002难度 A · 基础

⑴已知线段 $a 、 b 、 c 、 d$ 成比例

①若 $a = 5 c m$ 、 $c = 3 c m$ 、 $d = 9 c m$ 则 $b =$ ；

②若 $a = 6 c m$ 、 $b = 1 c m$ 、 $d = 3 c m$ 则 $c =$ ；

③若 $a = 4 c m$ 、 $b = 8 c m$ 、 $c = 3 c m$ 则 $a 、 b 、 c$ 的第四比例项 $d =$ ．

⑵若比例线段 $x + 1$ 、 $x$ 、 $x + 4$ 的第四比例项是 $4$ ，求 $x$ ．

⑶已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 四条线段能组成比例， $a = 2 c m, b = 3 c m, c = 5 c m$ ，求线段 $d$ 的长度．

题目SH-129-003难度 A · 基础

⑴已知 $a = 16, b = 36$ ，则 $a$ 和 $b$ 的比例中项 $c =$ ．

⑵已知线段 $a = 32 c m$ ， $b = 8 c m$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的比例中项 $c$ 是．

题目SH-129-004

⑶已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，求证： $a b + c d$ 是 $a^{2} + c^{2}$ 和 $b^{2} + d^{2}$ 的比例中项．

题目SH-129-005难度 B · 巩固

⑴若设 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{4}$ ，且 $b + d - f \neq 0$ ，则 $\frac{a + c - e}{b + d - f} =$ ．

⑵已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{8}$ ， $a + b + c = 20$ ，则 $2 a + b - c =$ ．

⑶若 $\frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{- a + b + c}{a}$ ，则 $\frac{(a + b) (a + c) (b + c)}{a b c} =$ ．

题目SH-129-006难度 B · 巩固

⑴若点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A C > B C$ , $A B = 20$ ，则 $A C =$ ．

⑵把长为 $5$ 米的线段进行黄金分割，则较短的线段长是．

⑶已知 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P = \sqrt{5} - 1$ ，则 $A B =$ ．

⑷如图， $A B = 1$ ， $P_{1} 、 P_{2}$ 是线段 $A B$ 的 $2$ 个黄金分割点．

①求 $A P_{1} 、 A P_{2}$ 的长度；

②求 $\frac{A P_{1}}{A P_{2}}$ ，点 $P_{1}$ 是不是线段 $A P_{2}$ 的黄金分割点？图中还有其他的黄金分割点吗？

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知识模块 02 · 原讲小节

平行线分线段成比例

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知识讲解定义、性质与方法

1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．

三角形一边的

平行线

性质定理

如图，若有 $D E ∥ B C$ ，

那么 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ， $\frac{B D}{A B} = \frac{C E}{A C}$

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．

三角形一边的平行线

性质定理推论

如图，若有 $D E ∥ B C$ ，

那么 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ ．

2．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

推论：如果一条直线截三角形的两边延长线（这两边延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

三角形一边的平行线

判定定理及推论

（面积法证明）

如图，

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

或

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

或

\frac{D B}{A B} = \frac{E C}{A C} \Rightarrow D E ∥ B C

．

题目SH-129-007

注： $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ 不可作为 $D E ∥ B C$ 的判定条件（理由如图）．

3．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．

平行线分线段

成比例定理

如图，若有 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，

那么 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ ， $\frac{A C}{B C} = \frac{D F}{E F}$ ，

$\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ ．

※平行线分线段成比例定理是三角形一边平行线性质定理的推广；三角形一边平行线性质定理可看作平行线分线段成比例定理的特殊情况．但要注意，平行线分线段成比例定理的逆命题是假命题，而三角形一边平行线性质定理的逆命题是真命题．

【思考题】⑴已知 $△ A B C$ ，直线 $l$ 与边 $A B 、 A C$ 分别相交于点 $D 、 E$ ，且 $l ∥ B C$ ，试证明 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ．根据证明的结论，利用比例的性质，还可以得到哪些比例线段？

⑵如图，点 $D 、 E$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，证明: $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ．

点 $D 、 E$ 分别在 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 的延长线上时，可证明结论同样成立（过 $D$ 作 $A C$ 的平行线交 $B C$ 延长线于点 $F$ ），这样就证明了三角形一边的平行线性质定理的推论．

题目SH-129-008难度 B · 巩固

⑴在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于 $D$ ，交 $A C$ 于 $E$ ，下列不能成立的比例式是（）

A． $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B． $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ C． $\frac{A C}{A B} = \frac{E C}{D B}$ D． $\frac{A D}{E C} = \frac{A E}{D B}$

⑵如图，线段 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，下列条件中能判定 $A C / / B D$ 的是（）

A． $O C = 1$ ， $O D = 2$ ， $O A = 3$ ， $O B = 4$

B． $O A = 1$ ， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ， $B D = 4$

C． $O C = 1$ ， $O A = 2$ ， $C D = 3$ ， $O B = 4$

D． $O C = 1$ ， $O A = 2$ ， $A B = 3$ ， $C D = 4$

⑶如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $D C$ 上，联结 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，若 $A D = 3 C F$ ，那么下列结论中正确的是（）

A． $F C : F B = 1 : 3$ B． $C E : C D = 1 : 3$ C． $C E : A B = 1 : 4$ D． $A E : A F = 1 : 2$

⑷如图， $D E ∥ B C$ ， $A D = 5$ ， $A E = 4$ ，则 $\frac{B D}{C E} =$ ， $\frac{A G \cdot C E}{F G} =$ ．

题目SH-129-009难度 B · 巩固

⑴如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 上， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E ∥ B A$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则线段 $D E$ 的长度为．

⑵如图，已知在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ， $A E = 2 C E$ ， $A B = 6$ ， $B C = 9$ ．

求：①求 $B F$ 和 $B D$ 的长度； ②四边形 $B D E F$ 的周长．

题目SH-129-010难度 C · 综合

⑴如图， $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，若 $C E = 5 ， C F = 4 ， A E = B C$ ，求 $\frac{C D}{A B}$ 的值．

⑵如图，已知在 $□ A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 上一点， $C E$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $C E$ 与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ，已知 $O E = 4$ ， $O G = 9$ ，那么 $C O$ 的长为 $_________$ ．

题目SH-129-011难度 C · 综合

⑴如图，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 分别交直线 $l_{4}$ 于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，交直线 $l_{5}$ 于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，已知 $A B = 5$ ， $A C = 8$ ， $D F = 12$ ，那么 $E F$ 的长等于 $_________$ ．

⑵如图， $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ， $A O = 4$ ， $D E = 8$ ， $O C = 6$ ， $D F = 12$ ，则 $O D =$ ， $O B =$ ．

题目SH-129-012难度 C · 综合

如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ ， $∠ B A F = ∠ D A E$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $G$ ．

⑴求证： $B E = D F$ ；

⑵当 $\frac{D F}{F C} = \frac{A D}{D F}$ 时，求证：四边形 $B E F G$ 是平行四边形．

题目SH-129-013难度 D · 提升

梯形 $A B C D$ 中， $D C ∥ A B ， D C = 3 ， A B = 5$ ， $E$ 是 $D A$ 的黄金分割点，且

$E F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $E F =______$ ．

题目SH-129-014

⑴如果线段 $a : b = 7 : 3$ ，线段 $b$ 是线段 $a$ 、 $c$ 的比例中项，那么 $c : b$ 等于（）

A. $4 : 3$ B. $3 : 7$ C. $7 : 3$ D. $3 : 4$

⑵互不相等的四条线的长 $a, b, c, d$ ，满足 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，则下列式子不成立的是（）

A. $a d = b c$ B. $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ C. $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$ D. $\frac{a - c}{b} = \frac{c - a}{d}$

⑶已知线段 $d$ 是线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的第四比例项，其中 $a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $c = 4$ ，那么线段 $d$ 的长是．

⑷若线段 $b$ 是线段 $a$ 和 $c$ 的比例中项，且 $a = 4 c m$ 、 $c = 9 c m$ ，则 $b =$ ．

⑸已知线段 $A B = 10 c m$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的黄金分割点（ $A P > B P$ ），则

$A P =$ ， $B P =$ ．

题目SH-129-015

已知： $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ．求 $\frac{x - y + 3 z}{3 x - y}$ ．
⑴如图，能推得 $D E ∥ B C$ 的条件是（）

A. $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ B. $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ C. $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ D. $\frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$

⑵如图已知 $A D ∥ B E ∥ C F$ ，下列比例式成立的是（）

A. $\frac{A B}{D E} = \frac{A D}{B E}$ B. $\frac{A B}{E F} = \frac{D E}{B C}$ C. $\frac{A C}{D F} = \frac{E F}{B C}$ D. $\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}$

⑶ $△ A B C$ 中，直线 $D E$ 交 $A B$ 于 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，那么能推出 $D E / / B C$ 的条件为（）

A. $\frac{A B}{A D} = \frac{3}{2} ， \frac{E C}{A E} = \frac{1}{2} ；$ B. $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3} ， \frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ ;

C. $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3} ， \frac{C E}{A E} = \frac{2}{3} ；$ D. $\frac{A D}{A B} = \frac{4}{3} ， \frac{A E}{E C} = \frac{4}{3} ；$

题目SH-129-016

已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ , $A B = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ，一条平行于 $B C$ 的直线把 $△ A B C$ 的周长分成相等的两部分．求线段 $D E$ 的长．

题目SH-129-017

如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ,点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $E F ∥ B C$ ，若 $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ， $A D = 8 c m$ ， $B C = 18 c m$ ，则 $E F$ 的长为．

题目SH-129-018

如图， $D$ 是 $B C$ 的中点，过 $D$ 的一条直线交 $A C$ 于 $F$ ，交 $B A$ 的延长线于 $E$ ， $A G ∥ B C$ ，交 $D E$ 于 $G$ ，求证: $\frac{E G}{E D} = \frac{F G}{F D}$ ．

题目SH-129-019

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ．

⑴如果 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 、 $B D$ 的中点，求证： $A B = P E + P F$

⑵如果 $P$ 是 $B C$ 上任意一点（端点除外）， $P E ∥ A B$ ， $P F ∥ D C$ ，那么 $A B = P E + P F$ 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．