第7讲函数的动点问题

知识模块 01 · 原讲小节

函数的动点问题

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

题型特点

动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图像背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查．

处理原则

题目SH-089-001

研究基本图形，分析运动状态，确定分段；
借助几何特征建立函数关系式．

难点拆解：

动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处；图像运动问题状态转折点通常是边与顶点的交点．

关键词：

起点，方向，速度，终点．

题目SH-089-002难度 B · 巩固

如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $M$ 是 $A D$ 边的中点，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿着 $B - C - D - M$ 的顺序运动．若点 $P$ 经过的路程为 $x$ ， $Δ B P M$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的关系式．

题目SH-089-003难度 C · 综合

直线 $A B$ 与坐标轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $∠ B A O = 30 °$ ， $O A = \sqrt{3}$ ．动点 $P$ 、 $Q$ 同时从 $O$ 点出发，点 $Q$ 沿线段 $O A$ 运动，速度为每秒1个单位长度，点 $P$ 以相同速度沿路线 $O \to B \to A$ 运动， $P$ 、 $Q$ 两点到达 $A$ 点后不再运动．

⑴直接写出 $B$ 点的坐标， $A B$ 所在直线的解析式；

⑵设点 $Q$ 的运动时间为 $t$ 秒， $△ O P Q$ 的面积 $S$ ，求出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

题目SH-089-004难度 C · 综合

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D$ 是边 $A C$ 上不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点 $E$ ， $M$ 是 $B D$ 的中点．

⑴求证： $C M = E M$ ；

⑵如果 $B C = \sqrt{3}$ ，设 $A D = x$ ， $C M = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式，并写出函数的定义域；

⑶当点 $D$ 在线段 $A C$ 上移动时， $∠ M C E$ 的大小是否发生变化？如果不变，求出 $∠ M C E$ 的大小；如果发生变化，说明如何变化．

题目SH-089-005难度 C · 综合

如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，点 $Q$ 是边 $A C$ 上动点（点 $Q$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），过点 $Q$ 作 $Q R / / A B$ ，交 $B C$ 边于点 $R$ ．

（1）求 $∠ C R Q$ 的大小；

（2）若把 $Δ Q C R$ 沿着直线 $Q R$ 翻折得到 $Δ Q P R$ ，设 $A Q = x$

①如图2，当点 $P$ 落在斜边 $A B$ 上时，求 $x$ 的值；

②如图3，当点 $P$ 落在 $R t Δ A B C$ 外部时， $R P$ 与 $A B$ 相交于点 $E$ ，如果 $B E = y$ ，写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式以及定义域．

题目SH-089-006难度 C · 综合

如图， $Δ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $A B = 6$ ，点 $P$ 是射线 $C B$ 上一点（不与点 $B$ 重合）， $E F$ 为 $P B$ 的垂直平分线，交 $P B$ 于点 $F$ ，交射线 $A B$ 于点 $E$ ，联结 $P E$ 、 $A P$ ．

（1）求 $∠ B$ 的度数；

（2）当点 $P$ 在线段 $C B$ 上时，设 $B E = x$ ， $Δ A C P$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果 $B E = 2$ ，请直接写出 $Δ A C P$ 的面积．

题目SH-089-007难度 D · 提升

如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $C D = 3$ ，过点 $A$ 作 $∠ C A E = ∠ B$ ，交边 $C B$ 于点 $E$ ，交线段 $C D$ 于点 $H$ ．

（1）求证： $A E ⊥ C D$ ；

（2）设 $A C = x$ ， $C H = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式及定义域；

（3）当 $A E = C D$ 时，求 $C H$ 的长．

题目SH-089-008难度 D · 提升

如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上的动点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $B$ 不重合），过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交射线 $B C$ 于点 $E$ ，联结 $A E$ ，点 $F$ 是 $A E$ 的中点，过点 $D$ 、 $F$ 作直线，交 $A C$ 于点 $G$ ，联结 $C F$ 、 $C D$ ．

（1）当点 $E$ 在边 $B C$ 上，设 $D B = x$ ， $C E = y$ ．

①写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式及定义域；

②判断 $Δ C D F$ 的形状，并给出证明；

（2）如果 $A E = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $D G$ 的长．

题目SH-089-009

如图， $M$ 是边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 的 $A D$ 边的中点，动点 $P$ 自 $A$ 点起，沿 $A - B - C - D$ 匀速运动，直线 $M P$ 扫过正方形所形成的面积为 $y$ ，点 $P$ 运动的路程为 $x$ ，请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

题目SH-089-010

如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $O$ 是斜边 $A C$ 的中点， $P$ 是斜边 $A C$ 上的一个动点， $D$ 为 $B C$ 上的一点，且 $P B = P D$ ， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ．

⑴求证： $P E = B O$

⑵设 $A C = 2, A P = x$ ，四边形 $P B D E$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

题目SH-089-011

已知：如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ． $D$ 是 $A C$ 上一个动点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A B$ 于 $F$ ，且 $D E = D C$ ，联结 $C E$ 交 $A B$ 于 $G$ （点 $G$ 不与点 $F$ 重合）．

（1）求 $∠ A$ 的度数；

（2）求 $B G$ 的长；

（3）设 $C D = x$ ， $G F = y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式并写出 $x$ 的取值范围．

题目SH-089-012

如图， $Δ A B C$ 是边长为 $10 c m$ 的等边三角形，动点 $P$ 和动点 $Q$ 分别从点 $B$ 和点 $C$ 同时出发，沿着 $Δ A B C$ 逆时针运动，已知动点 $P$ 的速度为 $1 c m / s$ ，动点 $Q$ 的速度为 $2 c m / s$ ．设动点 $P$ 、 $Q$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

⑴当 $t$ 为何值时，两个动点第一次相遇．

⑵从出发到第一次相遇这一过程中，当 $t$ 为何值时，点 $P$ 、 $Q$ 、 $C$ 为顶点的三角形的面积为 $8 \sqrt{3} c m^{2}$ ．

(备用图 $1$ )(备用图 $2$ )

$△ A B C$ 和 $△ D E F$ 的顶点 $A$ 与 $D$ 重合，已知 $∠ B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 6$ ，

$∠ F D E = 90 °$ ， $D F = D E = 4$ ．

⑴ $E F$ 与边 $A C$ 、 $A B$ 分别交于点 $G$ 、 $H$ ，且 $F G = E H$ ．在射线 $D F$ 上取点 $P$ ，记 $D P = D F \times x$ ，联结 $C P$ ．设 $△ D P C$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出定义域．

⑵在⑴的条件下，求当 $x$ 为何值时， $P C / / A B$ ．