函数 · 第 084 讲

第2讲正比例函数与反比例函数（一）

25 道题6 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

综合练习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

题目SH-084-001

下列函数中，哪些是正比例函数？

① $y = 2 x$ ；② $y = - \frac{x}{5}$ ；③ $y = 5 - 7 x$ ；

④ $y = x^{2} - (x - 1) (x - 2) + 2$ ；⑤ $x^{2} - y = 1$

⑵ ① 圆的周长 $c$ 与圆的半径 $r$ 这两个变量是否成正比例？

② 圆的面积 $S$ 与圆的半径 $r$ 这两个变量是否成正比例？

题目SH-084-002

下列关于 $x$ 的函数中：① $y = \frac{2}{x}$ ；② $y = \frac{- 4}{3 x}$ ；③ $y = \frac{k}{x}$ ；④ $y = \frac{m^{2} + 2}{x}$ 中，

一定是反比例函数的有（）

$A .$ ． $1$ 个 $B$ ． $2$ 个 $C$ ． $3$ 个 $D$ ． $4$ 个

知识模块 02 · 原讲小节

正比例

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知识讲解定义、性质与方法

如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就

说这两个变量成正比例．用数学式子表示两个变量 $x$ 、 $y$ 成正比例，就是 $\frac{y}{x} = k$

（ $x \neq 0$ ）或 $y = k x$ ， $k$ 是不等于零的常数．

知识模块 03 · 原讲小节

正比例函数

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知识讲解定义、性质与方法

解析式形如 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的函数，称 $y$ 是 $x$ 的正比例函数，其中常数 $k$ 叫做

比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．

知识模块 04 · 原讲小节

正比例函数的图像

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知识讲解定义、性质与方法

一般地，正比例函数 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的图像是经过原点 $(0, 0)$ 和 $(1, k)$ 的一条直

题目SH-084-003

线．我们把正比例函数 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )的图像叫做直线 $y = k x$ ．

【思考】⑴ 直线 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )会不会与 $x$ 轴平行？为什么？

⑵ 请你写出过点 $(0, 5)$ 且与 $x$ 轴平行的直线解析式．

正比例函数的性质：

当 $k > 0$ ，直线 $y = k x$ 经过一、三象限，从左向右上升，即 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大；
当 $k < 0$ ，直线 $y = k x$ 经过二、四象限，从左向右下降，即 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小；

题目SH-084-004

待定系数法求正比例函数解析式：

题目SH-084-005

设：设解析式为 $y = k x$ (常数 $k \neq 0$ )，其中系数 $k$ 待定；
列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数 $k$ 的方程；
解：解这个方程，得到待定系数 $k$ 的值；
代：将解出的待定系数的值代入 $y = k x$ ，从而得到完整的函数解析式．

题目SH-084-006难度 B · 巩固

⑴已知正比例函数 $y = (a + 1) x^{a^{2} + a + 1}$ ，那么它的图像经过哪个象限？

⑵ 正比例函数 $y = m x^{m^{2} + m}$ 的图像经过第一、三象限，求 $m$ 的值．

⑶已知函数 $y = k x (k \neq 0)$ 的图像经过 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，下列说法错误的是（）

$A .$ ．图像经过第一、三象限 $B$ ．图像经过第二、四象限

$C$ ．随着 $x$ 的增大， $y$ 也增大 $D$ ． $k > 0 .$

题目SH-084-007难度 B · 巩固

⑴在同一直角坐标系内画出下列函数的图像， $y = 2 x$ 与 $y = \frac{1}{2} x$ ．

⑵在同一直角坐标系内画出下列函数的图像， $y = - x$ 与 $y = - 3 x$ ．

⑶如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数 $y = k_{1} x$ ， $y = k_{2} x$ ， $y = k_{3} x$ ， $y = k_{4} x$ 的图像分别是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ ；那么 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ 的大小关系是．

题目SH-084-008难度 C · 综合

⑴ 若 $y$ 与 $x - 3$ 成正比例，且当 $x = 4$ 时， $y = - 1$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

⑵已知 $y$ 与 $x + 2$ 成正比例， $z - 4$ 与 $y$ 成正比例，且当 $x = - 3$ 时， $y = - 6$ ；当 $y = 6$ 时， $z = - 2$ ，求 $x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{4}{3}$ 时 $z$ 值．

知识模块 05 · 原讲小节

反比例

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知识讲解定义、性质与方法

如果两个变量的每一组对应值的积都是一个常数（这个常数不等于零），那么就

说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量 $x$ 、 $y$ 成反比例，就是 $x y = k$ 或

$y = \frac{k}{x}$ ，其中 $k$ 是不等于零的常数．

知识模块 06 · 原讲小节

反比例函数

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题目SH-084-009

解析式形如 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )的函数，称 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，其中常数 $k$ 叫做

比例系数．反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的定义域是不为零的一切实数．

反比例函数的图像与性质：

图像：反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )的图像叫做双曲线，它有两支．
性质：

当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；
当 $k < 0$ 时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；
图像的两支无限接近于 $x$ 轴和 $y$ 轴，但不会与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交．

题目SH-084-010

待定系数法求反比例函数

题目SH-084-011

设：设解析式为 $y = \frac{k}{x}$ (常数 $k \neq 0$ )，其中系数 $k$ 待定；
列：把题目当中已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数 $k$ 的方程；
解：解这个方程，得到待定系数 $k$ 的值；
代：将解出的待定系数的值代入 $y = \frac{k}{x}$ ，从而得到完整的函数解析式．

题目SH-084-012难度 C · 综合

⑴某反比例函数的图像经过点 $(- 2, 3)$ ，则此函数图像也经过点（）．

$A .$ ． $(2, 3)$ $B$ ． $(- 3, - 3)$ $C$ ． $(2, - 3)$ $D$ ． $(- 4, 6)$

⑵在反比例函数 $y = \frac{2 k - 3}{x}$ 图像的所在的每个象限中，函数值 $y$ 都随着自变量 $x$ 的值增大而增大，则 $k$ 的取值范围是．

⑶如果点 $A$ $(x_{1}, y_{1})$ 、 $B$ $(x_{2}, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图像上，并且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，那么下列各式中正确的是（）．

$A .$ ． $y_{1} < y_{2} < 0$ $B$ ． $0 < y_{1} < y_{2}$ $C$ ． $y_{1} > y_{2} > 0$ $D$ ． $0 > y_{1} > y_{2}$

⑷ 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像在第二、第四象限内，函数图像上有两点 $A (2 \sqrt{7}, y_{1})$ 、 $B (5, y_{2})$ 、 $C (- 3, y_{3})$ 、 $D (- 1, y_{4})$ ，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 、 $y_{4}$ 的大小关系为（）

$A .$ ． $y_{4} > y_{3} > y_{1} > y_{2}$ $B$ ． $y_{3} > y_{4} > y_{1} = y_{2}$

$C$ ． $y_{2} > y_{1} > y_{3} > y_{4}$ $D$ ．无法确定．

题目SH-084-013难度 C · 综合

题目SH-084-014

⑴已知反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图像经过点 $P (a + 1, 4)$ ，求 $a$ 的值．

⑵ $y$ 与 $x^{2}$ 成反比例，且 $x = 4$ 时， $y = - \frac{1}{2}$ ，那么求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式．

题目SH-084-015

⑶已知 $| b | = 3$ ，且反比例函数 $y = \frac{1 + b}{x}$ 的图像在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，如果点 $(a, 3)$ 在双曲线 $y = \frac{1 + b}{x}$ 上，求 $a$ 的值．

题目SH-084-016难度 C · 综合

⑴在同一直角坐标系中，正比例函数 $y = (m - 1) x$ 与反比例函数 $y = \frac{4 m}{x}$ 的图像大体位置不可能是（）

$A$ 　　　　　　 $B$ 　　　　　　　 $C$ 　　　　　　　 $D$

⑵反比例函数 $y = \frac{1 - m}{x}$ 的图像如图所示，以下结论正确的是．

①常数 $m < 1$ ；

② $y$ 随 $x$ 的增大而减小；
③若 $A$ 为 $x$ 轴上一点， $B$ 为反比例函数

上一点，且 $A B ⊥ x$ 轴，则 $S_{△ A B C} = \frac{1 - m}{2}$ ；
④若 $P (x, y)$ 在图像上，则 $P' (- x, - y)$ 也在图像上．

题目SH-084-017难度 C · 综合

若 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (x_{3}, y_{3})$ 是反比例函数 $y = (2 m - 3) x^{m^{2} + m - 7}$ 图像上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，求 $m$ 的值．

题目SH-084-018难度 C · 综合

如图，点 $A (1, 6)$ 和点 $B$ 在反比例函数图象上， $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $D C = 5$ ．

⑴求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标；

⑵联结 $A B$ ，在线段 $D C$ 上是否存在一点 $E$ ，使 $△ A B E$ 的面积等于 $5$ ？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-084-019难度 C · 综合

已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m, n)$ 在第一象限内， $A B ⊥ O A$ 且 $A B = O A$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像经过点 $A$ ．

⑴ 当点 $B$ 的坐标为 $(6, 0)$ 时（如图 $1$ ），求这个反比例函数的解析式；

⑵ 当点 $B$ 也在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，且在点 $A$ 的右侧时（如图 $2$ ），用 $m$ 、 $n$ 的代数式表示点 $B$ 的坐标；

⑶ 在第⑵小题的条件下，求 $\frac{m}{n}$ 的值．

题目SH-084-020

⑴如果正比例函数 $y = k x$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）的图像经过点 $（ 2, - 3 ）$ ，那么 $y$ 的值随着 $x$ 的值增大而（填“增大”或“减小”）．

⑵关于函数 $y = - \frac{1}{5} x$ ，下列说法中正确的是（）

$A .$ ．函数图像经过点 $(1, 5)$ $B$ ．函数图像经过一、三象限

$C$ ． $y$ 随 $x$ 的增大而减小 $D$ ．不论 $x$ 取何值，总有 $y < 0$

题目SH-084-021

⑴已知 $y = (a - 2) x + a^{2} - a - 2$ 是正比例函数，求 $a$ 的值

⑵若 $y$ 与 $x + 2$ 成正比例，且当 $x = 9$ 时， $y = 22$ ，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式．

⑶正比例函数的图像经过点 $P (2, 1)$ 和点 $Q (a, a - 5)$ ，写出正比例函数的解析式，并写出 $a$ 的值．

题目SH-084-022

⑴在平面直角坐标系中反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 0)$ 图像的两支分别在（）．

$A$ 第一、三象限 $B$ 第二、四象限 $C$ 第一、二象限 $D$ 第三、四象限

⑵已知反比例函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - 3}$ 的图像在第二、四象限，求 $m$ 值？

⑶已知 $y = a x^{a^{2} + 2 a - 1}$ 是反比例函数，求 $a$ 的值．

反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像上有三点， $(- 2, a)$ ， $(- 1, b)$ ， $(1, c)$ ，比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 大小．
⑴如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ）的图像经过 $(- 1, 2)$ ，那么这个函数的解析式是．

⑵若函数 $y = \frac{| a | - 9}{x}$ 是反比例函数，且经过点 $(- 2, 3)$ ，求 $a$ 的值．

⑶已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 是常数， $k \neq 0$ ），在其图像所在的每个象限内， $y$ 的值都随 $x$ 的值增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是（只需写一个）．

题目SH-084-023

⑴ 已知 $y = a x^{a - 3}$ ，若 $y$ 是 $x$ 的正比例函数，求 $a$ 的值．

⑵ 已知 $y = (k - 1) x + k^{2} - 1$ 是正比例函数，求 $k$ 的值．

⑶ 已知函数 $y = (k - 2) x^{| k | - 1}$ （ $k$ 为常数）是正比例函数，求 $k$ 的值．

⑷ 已知 $y = (m^{2} + 7 m) x^{m^{2} - 48}$ 是正比例函数，求 $m$ 的值．

题目SH-084-024

如图，点 $A$ 、 $C$ 都在函数 $y = \frac{3 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图像上，点 $B$ 、 $D$ 都在 $x$ 轴上，且使得 $Δ O A B$ 、 $Δ B C D$ 都是等边三角形．求点 $D$ 的坐标．

题目SH-084-025

如图，等边 $△ O A B$ 和等边 $△ A F E$ 的一边都在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像经过边 $O B$ 的中点 $C$ 和 $A E$ 的中点 $D$ ．已知等边 $△ O A B$ 的边长为 $8$ ，

⑴直接写出点 $C$ 的坐标；

⑵求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 解析式；

⑶求等边 $△ A F E$ 的边长．