第18讲因式分解四（换元法）

知识模块 01 · 原讲小节

换元法

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知识讲解定义、性质与方法

换元法

一、换元法：

1.定义： “换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式，是一种整体思想.换元法又称设辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展.

2.类型：

⑴整体换元：

例

分解因式： $(x^{2} + 3 x - 2) (x^{2} + 3 x + 4) - 16$ .

解：设 $x^{2} + 3 x - 2 = a$ ，

则原式 $= a (a + 6) - 16 = a^{2} + 6 a - 16 = (a + 8) (a - 2)$

$= (x^{2} + 3 x + 6) (x^{2} + 3 x - 4) = (x^{2} + 3 x + 6) (x + 4) (x - 1)$

⑵均值换元：

例

分解因式： $(x^{2} + 3 x - 2) (x^{2} + 3 x + 4) - 16$ .

解：设 $x^{2} + 3 x + 1 = a$ ，

则原式 $= (a - 3) (a + 3) - 16 = a^{2} - 9 - 16 = (a + 5) (a - 5)$

$= (x^{2} + 3 x + 6) (x^{2} + 3 x - 4) = (x^{2} + 3 x + 6) (x + 4) (x - 1)$

⑶双换元：三个括号内的代数式之间有和差关系

例

分解因式： ${(b - c)}^{2} - 4 (c - a) (a - b)$ .

解：设 $c - a = x$ ， $a - b = y$

则原式 $= {[- (x + y)]}^{2} - 4 x y = {(x - y)}^{2}$

$= {[(c - a) - (a - b)]}^{2} = {(b + c - 2 a)}^{2}$

题目SH-041-001难度 A · 基础

因式分解：

⑴ ${(x^{2} + x + 1)}^{2} + 2 (x^{2} + x + 1) - 3$

⑵ ${(x^{2} - 4 x)}^{2} - x^{2} + 4 x - 2$

题目SH-041-002难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ ${(3 x^{2} - 2 x + 5)}^{2} + 5 x (3 x^{2} - 2 x + 5) + 6 x^{2}$ .

⑵ ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{2} + x (3 x^{2} + 12 x + 24) + 2 x^{2}$

题目SH-041-003难度 B · 巩固

因式分解：

⑴ $(x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 2) - 12$

⑵ $(x^{2} + 4 x - 5) (x^{2} + 4 x + 3) + 12$

题目SH-041-004难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $(x - 1) (x + 1) (x + 3) (x + 5) + 12$

⑵ $(x + 1) (3 x + 1) (5 x - 1) (7 x - 1) + 64 x^{4}$

题目SH-041-005难度 C · 综合

因式分解： $(x^{2} + x - 6) (x^{2} - 2 x - 24) + 14 x^{2}$ .

题目SH-041-006难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $4 (3 x^{2} + x + 1) (x^{2} - 2 x + 3) - {(4 x^{2} - x + 4)}^{2}$

⑵ ${(c - a)}^{2} - 4 (b - c) (a - b)$

题目SH-041-007难度 C · 综合

因式分解：

⑴ $(a + b - 2 a b) (a + b - 2) + {(1 - a b)}^{2}$

⑵ $x y (x y + 1) + (x y + 3) - 2 (x + y + \frac{1}{2}) - {(x + y - 1)}^{2}$

题目SH-041-008难度 C · 综合

分解因式： ${(x - 2)}^{3} + {(x - 4)}^{3} + 8 {(x - 3)}^{2}$

题目SH-041-009难度 E · 挑战

分解因式： $a^{2} (b - c) + b^{2} (c - a) + c^{2} (a - b)$

因式分解： $3 {(m^{2} + 3 m)}^{2} - 18 (m^{2} + 3 m) - 120$

因式分解： $(x^{2} + x - 3) (x^{2} + x - 5) - 3$

因式分解： $4 x^{2} - 16 x y + 16 y^{2} - 24 x + 48 y + 32$

因式分解： $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) - 3 x^{2}$

阅读理解题：请阅读下面一题因式分解的解题过程：

分解因式： $x^{4} + (2 y + 4) x^{2} + y^{2} + 4 y + 4$

分析：题中 $y^{2} + 4 y + 4$ 是 ${(y + 2)}^{2}$ ，把 $x^{2}$ ， $y + 2$ 分别看作 $u$ ， $v$ ，用公式法分解因式，即可得．

解：设 $x^{2} = u$ ， $y + 2 = v$ ，则原式 $= u^{2} + 2 u v + v^{2} = {(u + v)}^{2} = {(x^{2} + y + 2)}^{2}$

像这样因式分解的方法叫做运用换元法因式分解

请你参照上述方法因式分解： ${(1 - x y)}^{2} + (x + y - 2) (x + y - 2 x y)$

分解因式：

⑴ ${(x^{2} + x + 1)}^{2} + (x^{2} + x + 1) - 6$

⑵ $(x^{2} + 3 x + 3) (x^{2} + 3 x + 4) - 6$

分解因式：

⑴ $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) - 24$

⑵ $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) + x^{2}$

分解因式：

⑴ ${(x^{2} + x y + y^{2})}^{2} - 4 x y (x^{2} + y^{2})$

⑵ ${(5 x^{2} + 2 x - 1)}^{2} - 3 (x^{2} - 7 x + 2) (5 x^{2} + 2 x - 1) + (x^{2} - 7 x + 2) (6 x^{2} - 5 x + 1)$

分解因式： $(a^{2} + 1)^{2} + (a^{2} + 5)^{2} - 4 (a^{2} + 3)^{2}$

分解因式： $x^{4} + (2 y + 6) x^{2} + y^{2} + 6 y + 9$
分解因式： ${(2 x^{2} - 3 x + 1)}^{2} - 22 x^{2} + 33 x - 1$
分解因式： $(a^{2} + a + 1) (a^{2} - 6 a + 1) + 12 a^{2}$
分解因式： $(2 a + 5) (a^{2} - 9) (2 a - 7) - 91$
分解因式： ${(x + 1)}^{4} + {(x + 3)}^{4} - 16$

分解因式： $(x^{2} + 5 x + 8)^{2} + 5 x (x^{2} + 5 x + 8) + 6 x^{2}$
分解因式： $(x + 1) (3 x + 4) (5 x + 2) (15 x + 1) + 5$
因式分解： $(x^{2} - 7 x + 6) (x^{2} - x - 6) + 56$
分解因式： $4 (3 x^{2} - x - 1) (x^{2} + 2 x - 3) - {(4 x^{2} + x - 4)}^{2}$
分解因式： $27 a^{3} (2 b + c) - 8 b^{3} (c + 3 a) - c^{3} (3 a - 2 b)$

题目SH-041-010

分解因式： $(x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 8) + 2 x^{2}$
分解因式： $(2 x^{2} + 4 x - 3) (3 x^{2} + 10 x + 1) + 7 x^{2} + 18 x - 3$
分解因式： $(2 x^{2} - x - 3) (25 x^{2} - 40 x - 48) - 66 x^{4}$
分解因式： $16 (x - 1) (2 x - 1) (3 x + 1) (6 x - 1) - 1536 x^{4}$
若 $x$ ， $y$ 是整数，求证： $(x + y) (x + 2 y) (x + 3 y) (x + 4 y) + y^{4}$ 是一个完全平方数.