第8讲 相似三角形（二）

⑶当矩形$AEGF$绕点$A$旋转至如图$3$的位置时，⑴中$DF$与$CG$之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

⑷如图$4$，在平行四边形$ABCD$中，$\angle B=60°$，$AB=6$，$AD=8$，$E$、$F$分别为$AB$、$AD$边的中点，四边形$AEGF$为平行四边形，联结$CG$．当平行四边形$AEGF$绕点$A$旋转$60$度时（如图$5$），请直接写出线段$CG$的长度．（酌情补充，学生版不放此问）

⑵如图，$△ABC$与$△DEF$均为等边三角形，$O$为$BC$、$EF$的中点，求$\frac{AD}{BE}$的值．

如图$1$，在四边形$ABCD$中，点$E$、$F$分别是$AB$、$CD$的中点，过点$E$作$AB$的垂线，过点$F$作$CD$的垂线，两垂线交于点$G$，联结$AG$、$BG$、$CG$、$DG$，且$\angle AGD=\angle BGC$．

⑴求证：$AD=BC$；

⑵求证：$△AGD\backsim △EGF$；

⑶如图$2$，若$AD$、$BC$所在直线互相垂直，求$\frac{AD}{EF}$的值．

如图所示，若$AB=2AC$，点$P$在$Rt△ABC$内，且$PA=\sqrt{3}$，$PB=5$，$\angle APC=120°$，求$PC$的长．

角平分线定理

【内角平分线定理】：在$△ABC$中，$AD$是$\angle BAC$的角平分线$\iff \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$．

【外角平分线定理】：在$△ABC$中，$AD$是$\angle BAC$外角平分线$\iff \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$．

⑵ 如图，在$△ABC$中，$AC:AB=1:2$，$\angle BAC$的内、外角平分线分别为$AE$和$AF$，

则$S_{△ABC}:S_{△ABE}:S_{△ABF}=$________．

⑴如图，$△ABC$中，$\angle BAD=\angle CAD$，$ME\parallel AD$交$BC$、$AB$于$M$、$E$，交$CA$的延长线于$F$．

求证：$\frac{BE}{BM}=\frac{CF}{CM}$．

⑵在$△ABC$中，$AB=1$，$AC=2$，$D$是$BC$中点，$AE$平分$\angle BAC$交$BC$于$E$，且$DF//AE$．则$CF=$________.

如图，$△ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于$D$，$\angle BAE=\angle DAE$，且$BE=CD$．

求证：$A{B}^2=AB\cdot AC+AC\cdot AD$．

已知$AD$是等腰$△ABC$底边$BC$上的高，$BM$和$BN$是$\angle B$的三等分线，分别交$AD$于$M$、$N$，联结$CN$并延长交$AB$于$E$，求证：$\frac{AE}{EB}=\frac{AM}{MN}$．

如图，已知，$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，求证：$\angle ABC=\angle ADE$．

如图，在$△ABC$中，点$D$是$BC$中点，$\angle ADB$的平分线交边$AB$于点$M$，$\angle ADC$的平分线交边$AC$于点$N$．求证：$MN\parallel BC$．

在$△ABC$中，$\angle B$的平分线交$AC$于$D$，$\angle C$的平分线交$AB$于$E$，且$BE=CD$．求证：$AB=AC$．

如图，在$△ABC$中，$\angle ACB$的内、外角平分线分别交$AB$及延长线于点$D$、$E$，$BC=\frac{5}{2}AC$，求$\frac{AB}{AD}+\frac{AB}{AE}$的值．

点$B$，$C$，$E$在同一直线上，点$A$，$D$在直线$CE$同侧，$AB=AC$，$EC=ED$，$\angle BAC=\angle CED=70°$，直线$AE$，$BD$交于点$F$．

⑴ 如图$1$，求证：$△BCD\backsim △ACE$，并求$\angle AFB$的度数；

⑵ 如图$2$中的$△ABC$绕点$C$旋转一定角度，得图$2$，求$\angle AFB$的度数；

⑶ 拓展：如图$3$，矩形$ABCD$和矩形$DEFG$中，$AB=1$，$AD=ED=\sqrt{3}$，$DG=3$，直线$AG$，$BF$交于点$H$，请直接写出$\angle AHB$的度数．