函数 · 第 077 讲

第13讲二次函数（二）

16 道题7 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

平移步骤

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

将抛物线解析式转化成顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，确定其顶点坐标 $(h ， k)$ ；
保持抛物线 $y = a x^{2}$ 的形状不变，将其顶点平移到 $(h ， k)$ 处，具体平移方法如下：

知识模块 02 · 原讲小节

平移规律

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知识讲解定义、性质与方法

在原有函数的基础上“ $h$ 值正右移，负左移； $k$ 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

知识模块 03 · 原讲小节

二次函数图像的对称变换

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知识讲解定义、性质与方法

二次函数图像的对称一般有五种情况，一般情况下我们从顶点式入手（不是顶点式，先化为顶点式）．

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 关于 $x$ 轴对称

开口方向 $a$ 改为 $- a$ ，顶点关于 $x$ 轴对称后为 $(h, - k)$ ，得到的解析式是：

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ $\to_{(h ， k) \to (h, - k)}^{a \to - a}$ $y = - a {(x - h)}^{2} - k$

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 关于 $y$ 轴对称

开口方向不变，顶点关于 $y$ 轴对称后为 $(- h, k)$ ，得到的解析式是：

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ $\to_{(h ， k) \to (- h, k)}^{a \to a}$ $y = a {(x + h)}^{2} + k$

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 关于原点对称

开口方向 $a$ 改为 $- a$ ，顶点关于原点对称后为 $(- h, - k)$ ，得到的解析式是：

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ $\to_{(h ， k) \to (- h, - k)}^{a \to - a}$ $y = - a {(x + h)}^{2} - k$

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 关于顶点对称

开口方向 $a$ 改为 $- a$ ，顶点坐标不变，得到的解析式是：

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ $\to_{(h ， k) \to (h, k)}^{a \to - a}$ $y = - a {(x - h)}^{2} + k$ ．

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ 关于点 $(m ， n)$ 对称；

开口方向 $a$ 改为 $- a$ ，顶点坐标 $(h, k)$ 关于点 $(m ， n)$ 对称后的顶点为 $(2 m - h, 2 n - k)$ ，得到的解析式是：

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ $\to_{(h ， k) \to (2 m - h, 2 n - k)}^{a \to - a}$ $y = - a {(x + h - 2 m)}^{2} + 2 n - k$ .

拓
对于一般式，也可直接进行 $x$ 轴、 $y$ 轴、原点的对称

知识模块 04 · 原讲小节

关于 x 轴对称

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知识讲解定义、性质与方法

$y = a x^{2} + b x + c$ 将解析式中的 $(x, y)$ 换成它的对称点 $(x, - y)$ ，得到的解析式是 $y = - a x^{2} - b x - c$ ；

知识模块 05 · 原讲小节

关于 y 轴对称

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

$y = a x^{2} + b x + c$ 将解析式中的 $(x, y)$ 换成它的对称点 $(- x, y)$ ，得到的解析式是 $y = a x^{2} - b x + c$ ；

知识模块 06 · 原讲小节

关于原点对称

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

$y = a x^{2} + b x + c$ 将解析式中的 $(x, y)$ 换成它的对称点 $(- x, - y)$ ，得到的解析式是 $y = - a x^{2} + b x - c$ ；

知识模块 07 · 原讲小节

二次函数与二次方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，令 $y = 0$ ，则得 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，这是一个关于 $x$ 的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与 $x$ 轴交点的个数的探讨都可转化为由根的判别式 $Δ$ 来讨论，特别地，设 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ 为抛物线与 $x$ 轴的两个不同交点，则

① $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ；② $A B = | x_{2} - x_{1} | = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{| a |} = \frac{\sqrt{△}}{| a |}$ ．

题目SH-077-001难度 A · 基础

⑴将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向右平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，抛物线的表达式为（）

A． $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2$ B． $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 2$

C． $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 2$ D． $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 2$

⑵把抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，所得到抛物线的解析式是；

⑶抛物线 $y = 1 + 2 x - \frac{1}{2} x^{2}$ 可由抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 向平移个单位，再向平移个单位得到．

题目SH-077-002难度 B · 巩固

⑴将抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 向右平移 $3$ 个单位后关于原点对称的抛物线的解析式为；

⑵抛物线 $y = x^{2} + 1$ 关于 $(1, 1)$ 对称的抛物线解析式为；

⑶将抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 向左平移 $2$ 个单位后关于 $(3, 6)$ 对称的抛物线解析式

为．

题目SH-077-003难度 B · 巩固

如图平行四边形 $A B C D$ 中 $A B = 4$ ,点 $D$ 的坐标为 $(0, 8)$ ，以 $C$ 为顶点的抛物线 $y_{1}$ 经过 $x$ 轴上的点 $A$ 、 $B$ ．

⑴求抛物线 $y_{1}$ 的解析式．

⑵将抛物线 $y_{1}$ 向上平移，使它经过点 $D$ ，求所得抛物线 $y_{2}$ 的解析式．

题目SH-077-004难度 B · 巩固

题目SH-077-005

如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ 经过原点 $O$ 和点 $A (2, 0)$

⑴写出对称轴与 $x$ 轴的交点坐标；

⑵点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上，若 $x_{1} < x_{2} < 1$ ，比较 $y_{1}, y_{2}$ 的大小；

⑶点 $B (- 1, 2)$ 在该抛物线上，点 $C$ 与点 $B$ 关于抛物线的对称轴对称，求直线 $A C$ 的函数解析式．

题目SH-077-006

如图，已知点 $O (0, 0)$ ， $A (- 5, 0)$ ， $B (2, 1)$ ，抛物线 $l$ ： $y = - {(x - h)}^{2} + 1$ （ $h$ 为

常数），与 $y$ 轴的交点为 $C$ ．

⑴ $l$ 经过点 $B$ ，求它的解析式，并写出此时 $l$ 的对称轴及顶点坐标；

⑵设点 $C$ 的纵坐标为 $y_{C}$ ，求 $y_{C}$ 的最大值，此时 $l$ 上有两点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，其中 $x_{1} > x_{2} \geq 0$ ，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；

⑶当线段 $O A$ 被 $l$ 只分为两部分，且这两部分的比是 $1 : 4$ 时，求 $h$ 的值．

题目SH-077-007难度 C · 综合

⑴二次函数 $y = x^{2} - 2 x - k$ 的图像与 $x$ 轴只有一个交点， $k$ 的取值范围为．

⑵二次函数 $y = x^{2} - 2 x - k$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点， $k$ 的取值范围为．

⑶二次函数 $y = x^{2} - 2 x - k$ 的图像与 $x$ 轴没有交点， $k$ 的取值范围为．

⑷关于 $x$ 的函数 $y = m x^{2} - (3 m + 1) x + 2 m + 1$ 的图象与坐标轴只有两个交点，

$m =$ ．

题目SH-077-008难度 C · 综合

将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向右平移 $p$ 个单位，或向下平移 $q$ 个单位后，与 $y = x - 4$ 恰好只有一个交点，求 $p$ ， $q$ ．

题目SH-077-009难度 C · 综合

⑴二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 6$ 的图像在 $x$ 轴上截得的线段长是．

⑵二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - 1$ 时， $y$ 有最小值 $- 4$ ，它的图像与 $x$ 轴交点

的横坐标分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值．

⑶已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 图像开口向上．且过点 $(0, - 24)$ ， $(1, - 20)$ ，其图像在 $x$ 轴上所截得的线段长为 $7$ ．求这个二次函数的解析式．

题目SH-077-010难度 C · 综合

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图像和 $x$ 轴、 $y$ 轴都只有一个交点，分别为 $P$ 、 $Q$ ，且 $P Q = 2 \sqrt{2}, b + 2 a c = 0$ ．一次函数 $y = x + m$ 的图像过 $P$ 点，并和二次函数的图像交于另一点 $R$ ．求 $△ P Q R$ 的面积．

题目SH-077-011难度 C · 综合

⑴如图，把抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 平移得到抛物线 $m$ ，抛物线 $m$ 经过点 $(- 6, 0)$ 和原点 $O (0, 0)$ ，它的顶点为 $P$ ，它的对称轴与抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 交于点 $Q$ ．

①顶点 $P$ 的坐标 $______________$ ；②写出平移过程；

③求图中阴影部分的面积．

⑵如图，抛物线 $y_{1} = - x^{2} + 2$ 向右平移一个单位得到抛物线 $y_{2}$ ，

①抛物线 $y_{2}$ 的顶点坐标 $______________$ ；②阴影部分的面积 $S =________$ ；

③若再将抛物线 $y_{2}$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ 得到抛物线 $y_{3}$ ，则抛物线 $y_{3}$ 的开口方向 $_________$ ，顶点坐标 $______________$ ．

⑶已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 m x + m^{2}$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点 $A$ 、 $B$ ,顶点为 $C$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，那么 $m =$ ．

题目SH-077-012

将二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x - m$ 的图像向左平移 $1$ 个单位后，它的对称轴恰好经过点 $(\frac{3}{2} m, 0)$ ，则 $m$ 的值为．
已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，求：

⑴关于 $x$ 轴对称的二次函数解析式；

⑵关于 $y$ 轴对称的二次函数解析式；

⑶关于原点对称的二次函数解析式．

题目SH-077-013

已知：二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的坐标是 $(- 2, 0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，线段 $O B$ 、 $O C$ 的长（ $O C < O B$ ）是方程 $x^{2} - 10 x + 24 = 0$ 的两个根．

⑴求 $B$ 、 $C$ 两点的坐标；

⑵求这个二次函数的解析式．

题目SH-077-014

如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ．请解答下列问题：

⑴求抛物线的解析式；

⑵点 $E (2, m)$ 在抛物线上，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$ ,点 $F$ 是 $A E$ 中点，联结 $F H$ ,求线段 $F H$ 的长．

题目SH-077-015

设二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $(0, 2)$ ， $(1, - 1)$ ，且其图像在 $x$ 轴上所截线段长为 $2 \sqrt{2}$ ，求这个二次函数的解析式．

题目SH-077-016

已知二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3 - m^{2}}{2} x - \frac{3 m^{2}}{2}$ ，设其顶点为 $A$ ，与 $x$ 轴交于 $B$ 、 $C$ 点（ $B$ 点在 $C$ 点左侧），问是否存在实数 $m$ ，使 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，如果存在，求 $m$ ；若不存在，说明理由．