第7讲 三角形四边形全等综合

⑴点在三角形内部：

如图，已知$P$是等边$△ABC$内的一点，

①若$PA=3$，$PB=4$，$PC=5$，求$\angle APB$的度数.

②若$\angle APB$、$\angle BPC$、$\angle CPA$的大小之比为$5:6:7$，则以$PA$、$PB$、$PC$为边的三角形的三个内角的大小之比为多少？

⑶点在三角形外部

如图，$△ABC$为等边三角形，在$△ABD$中，$BD=a$，$DA=b$，问：$C$、$D$两点的距离最大是，此时$\angle ADB$为度．

如图，已知正方形$ABCD$中，$\angle MAN=45°$，联结$BD$与$AM$、$AN$分别交$E$、$F$点，则证明：

⑴$MN=BM+DN$；⑵$△CMN$的周长等于正方形边长的$2$倍；

⑶点$A$到$MN$的距离等于正方形的边长；⑷$S_{正方形ABCD}:S_{△AMN}=2AB:MN$；

⑸$E{F}^2=B{E}^2+D{F}^2$

⑵在原题中，再以$EA$、$AG$为边往外作平行四边形$AEHG$，并使$AD$、$BE$交于点$O$，则$CO$与$OH$在数量以及位置方面的关系如何？

（总结：手拉手——端点对应相连证全等）

⑶在原题中，设$O_1$、$O_2$是两个正方形对角线的交点，点$M$为$BC$的中点，则

$O_{1}M$与$O_{2}M$在数量以及位置方面的关系如何？

（总结：手拉手+中位线）

⑷在原题中，取$BC$中点$M$，延长$MA$交$EG$于点$H$，求证： $AH$垂直$EG$．

（总结：已知中线证垂直——倍长中线）

⑹在原题中，联结$DF$，取$DF$中点$P$，求证：点$P$到边$BC$的距离是线段$BC$

长度的一半．

如图，$△ABC$和$△CDE$都为等边三角形，且$A$、$C$、$E$三点在同一条直线上．联结$AD$交$BC$于点$Q$，联结$BE$交$CD$于点$Q$，$AD$、$BE$相交于点$O$．

求证：

⑴$AD=BE$；

⑵$\angle ACB=\angle AOB$；

⑶$△PCQ$为等边三角形；

如图所示，在正方形$ABCD$中，$AB=\sqrt{3}$，点$E$、$F$分别在$BC$、$CD$上，且$\angle BAE=30°$，$\angle DAF=15°$，求$△AEF$的面积．
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如图，向$△ABC$的外侧作正方形$ABDE$、$ACFG$．过$A$作$AH\perp BC$于$H$，$AH$与$EG$交于$P$．求证：$BC=2AP$．