第4讲 相似三角形（二）

如图，梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，点$E$是边$AD$的中点，联结$BE$并延长交$CD$的延长线于点$F$，交$AC$于点$G$．

⑴若$FD=2$，$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{3}$，求线段$DC$的长；

⑵求证：$EF\cdot GB=BF\cdot GE$．

如图，在$▱ABCD$中，$E$是边$AB$的中点，$F$是边$AD$上一点，$AF=\frac{1}{2}FD$,联结$EF$交$AC$于点$G$，若$AC=10$，则$AG$的长为．

如图，已知$AB\parallel EF\parallel CD$，若$AB=a$，$CD=b$，$EF=c$，

⑴求证：$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$；

⑵找出$S_{\Delta ABD}$、$S_{\Delta BED}$、$S_{\Delta BCD}$之间的关系，并证明你的结论．

如图，$D、E$分别为$△ABC$的边$AC、AB$上一点，$BD、CE$交于点$O$，且$\frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$，试问$△ADE$与$△ABC$相似吗？如果是，请说明理由．

已知，如图，在四边形$ABCD$中，$\angle ADB=\angle ACB$，延长$AD$、$BC$相交于点$E$

求证：⑴$△ACE\backsim △BDE$；

⑵$BE\cdot DC=AB\cdot DE$

如图，$BD、CE$是$△ABC$的两条高，$AM$是$\angle BAC$的平分线，交$BC$于$M$，交$DE$于$N$．求证：

⑴$\frac{AM}{AN}=\frac{BC}{DE}$；⑵$\angle EDB=\angle ECB$．

⑴证明：正方形$EFGH$，内接于$△ABC$中，$AD\perp BC$，设$BC=a，AD=h$，则正方形边长为$\frac{ah}{a+h}$．

⑵如图，已知$\Delta ABC$中，四边形$DEGF$为正方形，$D、E$在线段$AC、BC$上，$F、G$在$AB$上，如果$S_{\Delta ADF}=S_{\Delta CDE}=1$，$S_{\Delta BEG}=3$，求$\Delta ABC$的面积．

已知，如图，在$△ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，$DE\parallel BC$,点$F$在边$AB$上，$B{C}^2=BF\cdot BA$，$CF$与$DE$相交于点$G$．

⑴求证：$DF\cdot AB=BC\cdot DG$；

⑵当点$E$为$AC$中点时，求证：$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$．

如图，在$△ABC$中，$AD$、$CE$分别为$BC$、$AB$边上的高，且$AD$为$12$，$S_{△EBD}:S_{△ABC}=1:4$，则$BD=\_\_\_\_\_\_\_$．