第11讲整式化简求值

知识模块 01 · 原讲小节

配方法

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

对形如 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的二次三项式进行配方的一般步骤：

⑴降幂排列，首项为正；

⑵提取二次项因数，保留常数项；

⑶添加一次项系数一半的平方．

题目SH-034-001难度 B · 巩固

对于一个二次多项式，是可以按照如下方式配成“平方 $+$ 常数”的形式的。

例： $- 2 x^{2} + 4 x - 3$

⑴提取二次项系数，原式 $= - 2 (x^{2} - 2 x) - 3$

⑵配方，原式 $= - 2 (x^{2} - 2 x + 1 - 1) - 3$

⑶化为平方并整理，原式 $= - 2 {(x - 1)}^{2} - 1$

依照上述做法，将如下两个多项式化为“平方 $+$ 常数”的形式

① $- 3 x^{2} + 12 x$ ；② $3 x^{2} + 11 x + 1$

题目SH-034-002难度 C · 综合

⑴当 $x$ 为何值时，代数式 $2 x^{2} + 6 x + 1$ 的值最小，最小值是多少？

⑵当 $x$ 为何值时，代数式 $- x^{2} + 5 x + 1$ 的值最大，最大值是多少？

题目SH-034-003难度 B · 巩固

已知 $y = a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 6 c + 11$ ，求 $y$ 的最小值，并求此时 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值．

题目SH-034-004难度 B · 巩固

⑴若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 8 a + 14 b + 65 = 0$ ，求 $a^{2} + a b + b^{2}$ 的值．

⑵已知 $a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 10 a b + 16 = 0$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

知识模块 02 · 原讲小节

⑴ 恒等式的定义

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知识讲解定义、性质与方法

恒等式就是当用任何数值替代式中的字母时，都能使等式左右两边的值相等的等式．

用符号“ $\equiv$ ”表示恒等，读作“恒等于”．

例如，我们之前学过的乘法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ， ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 都是恒等式．

知识模块 03 · 原讲小节

⑵ 关于恒等式的定理

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知识讲解定义、性质与方法

如果 $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$ $\equiv b_{0} x^{n} + b_{1} x^{n - 1} + b_{2} x^{n - 2} + \dots + b_{n - 1} x + b_{n}$ ，

则 $a_{0} = b_{0}$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2}$ ，…， $a_{n - 1} = b_{n - 1}$ ， $a_{n} = b_{n}$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

待定系数法

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知识讲解定义、性质与方法

待定系数法是解决关于恒等式题目的常用方法，特点是先找到一个恒等式，其中含有待定的系数，然后根据恒等式的性质列出一个或几个方程，解这个方程或方程组，求出各待定系数的值，从而使问题得到解决．

确定待定系数主要是利用恒等的概念和定理，主要方法有系数比较法和赋值法．

题目SH-034-005难度 B · 巩固

⑴已知多项式 $2 x^{2} + 3 x y - 2 y^{2} - x + 8 y - 6$ 的值恒等于两个因式 $(x + 2 y + A) 、 (2 x - y + B)$ 的乘积，那么 $A + B$ 的值是多少？

⑵若 $(a x + c) (x^{2} - b x + c) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 6 x + 4$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b - b c + a c$ 的值．

题目SH-034-006难度 B · 巩固

若等式 $x^{2} - x + 2 = A (x - 3) (x + 2) + B x (x + 2) + C x (x - 3)$ 是恒等式，求 $A 、 B 、 C$ 的值

题目SH-034-007难度 B · 巩固

已知 ${(x + 1)}^{4} = a + b x + c x^{2} + d x^{3} + e x^{4}$ ，则

① $a =$ ；

② $a + b + c + d + e =$ ；

③ $a - b + c - d + e =$ ；

④ $b + d =$ ．

阅读材料：把形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式（或其一部分），配成完全平方的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，例如： $x^{2} - 2 x + 4$ 可以配方成 ${(x - 1)}^{2} + 3$ 的形式（即“余项”是常数项），因为完全平方数大于等于零，可得 $x^{2} - 2 x + 4$ 的最小值为 $3$ ，请根据阅读材料解决下列问题：
试求 $3 x^{2} - 8 x y + 9 y^{2} - 4 x - 2 y + 2015$ 的最小值．

阅读以下材料，解决问题．

【阅读材料】已知多项式 $2 x^{3} - x^{2} + m$ 有一个因式 $2 x + 1$ ，求 $m$ 的值．

解法一：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = (2 x + 1) (x^{2} + a x + b)$ ，

则 $2 x^{3} - x^{2} + m = 2 x^{3} + (2 a + 1) x^{2} + (a + 2 b) x + b$

比较系数得 ${\begin{matrix} 2 a + 1 = - 1 \\ a + 2 b = 0 \\ b = m \end{matrix}$ ，解得 ${\begin{matrix} a = - 1 \\ b = \frac{1}{2} \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，∴ $m = \frac{1}{2}$

解法二：设 $2 x^{3} - x^{2} + m = A (2 x + 1)$ （ $A$ 为整式）

由于上式为恒等式，为方便计算取 $x = - \frac{1}{2}$ 得

$2 \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + m = 0$ ，解得 $m = \frac{1}{2}$

【解决问题】已知 $x^{4} + m x^{3} + n x - 16$ 有因式 $(x - 1)$ 和 $(x - 2)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

题目SH-034-008

已知： $x^{2} - 2 x + a$ 是多项式 $x^{3} - b x - 2$ 的一个因式，试求出 $a$ 、 $b$ 的值．

题目SH-034-009

设 $M = {(3 x - 2)}^{3}$ ，利用整式的乘法展开得 $M = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ （其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 分别表示常数项和各项系数）

⑴ $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 的值

⑵不展开 ${(3 x - 2)}^{3}$ ，求 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3}$ 的值

题目SH-034-010

已知 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y + 25 = 0$ ，求 $x^{3} + y^{3}$ 的值．
⑴当 $x$ 为何值时，代数式 $- x^{2} + 6 x - 15$ 有最大值，最大值为多少？

⑵当 $x$ 为何值时，多项式 $2 x^{2} - 4 x - 1$ 有最小值，最小值是多少？

已知 ${(x^{2} - a x + 2)}^{2} = x^{4} - 6 x^{3} + b x^{2} - 12 x + c$ 对于 $x$ 恒成立，求 $a (b + c)$ 的值.
已知 $(x - 1) (x - 2) (x + c) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + b$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值.
已知 ${(2 x - 3)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$

那么 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ； $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} =$ ；

$a_{0} =$ ； $a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ .

题目SH-034-011

⑴已知 $a^{2} + b^{2} - 8 a + 4 b + 20 = 0$ ，求 $a b$ 的值．

⑵已知 $a^{2} b^{2} + 4 a^{2} + b^{2} + 8 a b + 4 = 0$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ ．

题目SH-034-012

⑴当 $x$ 为何值时，代数式 $x^{2} - 7 x + 3$ 的值最小，最小值是多少？

⑵当 $x$ 为何值时，代数式 $- 2 x^{2} + 4 x - 3$ 的值最大，最大值是多少？

题目SH-034-013

已知 $x = a^{2} + b^{2} - 2 a - 4 b + 5$ ， $y = - a^{2} b^{2} + 2 a b - 1$ ，则 $x$ 与 $y$ 的大小关系是．
使 $(2 x^{2} + p x + 3) (x^{2} - 3 x + q)$ 的积中不含 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ ，求 $p$ ， $q$ 的值.
已知二次三项式 $a x^{2} + b x + 1$ 与 $2 x^{2} - 3 x + 1$ 的乘积不含 $x^{2}$ 的项，也不含 $x$ 的项，求常数 $a$ 与 $b$ 的值．
已知 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，

⑴求 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}$ 的值．

⑵求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值．

⑶求 $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ 的值．

⑴已知 $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 4) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，则 $a + b + c + d =$ ；

$- a + b - c + d =$ ； $3 a + 2 b + 3 c + 2 d =$ .

⑵已知 ${(3 x^{2} + 3 x - 7)}^{100} = 2 a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{200} x^{200}$ ，求 $S = 2 (a_{0} + a_{2} + \dots + a_{198} + a_{200})$ 的值.

题目SH-034-014

已知 $a 、 b 、 c 、 d$ 为四边形四条边，且 $a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = 4 a b c d$ ，

求证：此四边形是菱形 $(a = b = c = d)$