第7讲 一元二次方程的应用（一）

求方程$xy+x-y=3$的整数解．

1. 方法一：分离整系数$+$因倍分析（因式分解法中应用）

$x(y+1)=3+y$

当$y=-1$时，$x$无解，$\therefore y\ne -1$.

$\therefore x=\frac{3+y}{y+1}=1+\frac{2}{y+1}$，$\therefore (y+1)|2$，得$y+1=\pm 1,\pm 2$，

解得$\{\begin{array}{c}x=3\\ y=0\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=0\\ y=-3\end{array}$

方法二：部分因式分解（设$k^2$法中应用）

$(x-1)(y+1)=2$，

$\therefore \{\begin{array}{c}x-1=2\\ y+1=1\end{array}$或 $\{\begin{array}{c}x-1=1\\ y+1=2\end{array}$ 或$\{\begin{array}{c}x-1=-2\\ y+1=-1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x-1=-1\\ y+1=-2\end{array}$

解得$\{\begin{array}{c}x=3\\ y=0\end{array}$或 $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=0\\ y=-3\end{array}$

题型一、$$ax+by=c$$类型

设$a$、$b$、$c$、$d$为整数，则不定方程$ax+by=c$有：

$1$．若$\left(a,b\right)=d$且$d$不能整除$c$，则不定方程$ax+by=c$没有整数解；

$2$．若$\left(x_0,y_0\right)$是不定方程$ax+by=c$的一组整数解（称为特解），则

$\{\begin{array}{c}x=x_0+\frac{b}{\left(a,b\right)}t\\ y=y_0-\frac{a}{\left(a,b\right)}t\end{array}$（$t$为整数）是方程的全部整数解（称为通解）．

题型二、$$axy+bx+cy=m$$类型

例如，求$$xy+x-y=3$$的整数解．基本解法有两种：①恒等变形为$$(x-1)(y+1)=2$$，此时解显然有有限组，特别注意不要漏掉负数解．②分离整数为$$x=\frac{y+3}{y+1}=1+\frac{2}{y+1}$$，此时容易求得$y$的值，进一步求得$x$．

对于有理数系数的一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$（$a、b、c$是有理数,且$a\ne 0$），可以通过对方程两边同时乘以一个适当的数（零除外），将有理数系数的方程化为整系数方程．因此，我们常将有理数系数一元二次方程转化为整系数一元二次方程．

⑴因式分解法：从求根入手，通过因式分解，直接解出方程两根，然后结合整除的性质分析、求解．（发现能因式分解时使用）

⑵判别式法：二次方程有根的前提条件是判别式$\Delta \ge 0$，借此求出参数的取值范围；另外，对于整系数一元二次方程而言，有有理根的条件是$\Delta =b^2-4ac$为完全平方数，此时可引入参数（设$\Delta =k^2$）求解．（只能在整系数时使用）

⑶韦达定理：由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式．接下来可用以下两类方法求解：

①分离整数法：两根均为整数时，其和、积式亦均为整数，可对其和、积式进行整除分析

②消参：运用和、积式消去待定字母，得到两整数根之间的关系式，借助因式分解和整数性质求解．

因式分解法确定整数解

1. （老师直接讲，小朋友模仿着做后面的例题）

已知关于$x$的方程$(a-1)x^2+2x-a-1=0$的根都是整数，那么符合条件的整数$a$的值为________________．

①当$a=1$时，$x=1$，满足要求；

②当$a\ne 1$时，原方程左边因式分解，得$(x-1)\left[(a-1)x+(a+1)\right]=0$，

即得$x_1=1$，$x_2=-1+\frac{2}{1-a}$

∵$x$是整数，∴$1-a=\pm 1$，$\pm 2$，

∴$a=-1$，$0$，$2$，$3$

由上可知符合条件的整数有：$-1,0,1,2,3$．