第3讲整式的乘除 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

整式的乘除

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

整式的乘法

单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．

单项式乘以单项式的一般步骤：
⑴ 先把各因式的系数相乘，作为积的系数；
⑵ 运用同底数幂的乘法法则，把各因式里的相同字母相乘；
⑶ 只在一个因式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式；

单项式乘法中若有乘方运算，则要先算乘方，再按上述三步计算．

单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．

⑴单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式乘多项式的各项，将其转化为单项式乘法；

⑵非零单项式乘不含同类项的多项式，乘积仍是多项式；积的项数与所乘多项式的项数相等，不要多乘或漏乘；

⑶含有多种运算方式的混合运算要按运算顺序计算，有同类项的要合并，使所得的结果为最简形式．

多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

⑴结果仍是多项式，积的项数为原来两个多项式项数的积．

⑵计算时应连同各项的符号一起去乘另一项，项与项之间用加号连接．

题目SH-050-001难度 B · 巩固

计算：

⑴ $(- 2 a^{2})^{2} \cdot (- 4 a^{4})$ ；

⑵ $(- 2 x^{m} y^{n})^{2} \cdot (- 3 x y^{2})$ ；

⑶ ${(- \frac{1}{3} x^{2} y^{3})}^{2} [- \frac{3}{2} {(x y^{2})}^{3}] {(- 0.4 x y)}^{2}$ ．

题目SH-050-002难度 B · 巩固

化简：

⑴ $- m (a - b + c)$ ； ⑵ $3 x^{2} \cdot (5 x^{4} + 2 x^{2} + 3)$ ．

⑴ $[{(x^{2} y^{3})}^{2} - 5 {(x y^{2})}^{3}] \cdot {(2 x y)}^{2}$ ； ⑵ $[{(- 2 a^{2} b^{2})}^{3} + {(a b^{2})}^{2}] \cdot (- \frac{1}{2} a^{2} b)$ ．

题目SH-050-003难度 B · 巩固

化简：

⑴ $(a + b) (a - b)$ ； ⑵ $(x + y) (x - 2 y)$ ；

⑶ $(x - y) (d - b - c)$ ； ⑷ $(x^{2} y^{3} - x^{3} y^{2}) \cdot (x^{2} - y^{2})$ ．

题目SH-050-004难度 C · 综合

化简：⑴ $(a - 2) (a + 2) (2 a + 1)$ ； ⑵ $(2 x - x^{3} - 3) (1 - 3 x + 2 x^{2})$ ．

题目SH-050-005难度 D · 提升

已知多项式 $2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 1$ 与多项式 $4 x^{2} + 5 x + b$ 的乘积中不含有 $x^{3}$ 项，求常数 $b$ 的值．

题目SH-050-006难度 C · 综合

化简： $\frac{5}{12} {(x + y)}^{2 n} \cdot {(- x - y)}^{3 n} \cdot [- \frac{3}{4} {(x - y)}^{3 n}] \cdot \frac{6}{5} {(y - x)}^{2 n}$ ．（ $n$ 为正整数）

题目SH-050-007难度 D · 提升

计算： $(3 x^{2} + 2) (5 x^{4} + 2 x^{2} + 3) - (5 x^{4} + x^{2} + 3) (3 x^{2} + 3)$ ．

整式的除法

单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

⑴系数相除应包含它前面的符号；

⑵只在被除式里含有的字母，作为商的一个因式，不要遗漏．

多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．

⑴不要漏项，所得商的项数应与被除式中多项式的项数相同；

⑵明确除式与被除式中各项的符号，相除时要带着符号相除．

多项式除以多项式：长除法

长除法的运算步骤：

⑴被除式与除式按同一字母的降幂排列，若有缺项用 $0$ 补齐；

⑵用竖式进行运算；

⑶当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．

题目SH-050-008难度 B · 巩固

计算：

⑴ $(4 x^{2} y)^{2} \div 8 y^{2}$ ； ⑵ $(\frac{1}{3} a^{3} b^{2})^{3} \div (\frac{3}{4} a b^{2})^{2}$ ； ⑶ $(0.8 x^{2} y^{n})^{3} \div (4 x^{2} y^{n})^{2}$ ．

题目SH-050-009难度 B · 巩固

计算：

⑴ $[a {}^{3}{b^{4}} c^{4} \div {(a c)}^{3} + {(- a)}^{4} \cdot {(- b c)}^{2}] \div a b c$

⑵ $(6 x y^{2} - 12 x^{3} y^{4} + 2 x^{2} y^{2}) \div (- 2 x y^{2})$

⑶ $(\frac{2}{3} x^{2 n + 2} y^{2} - \frac{1}{2} x^{2 n + 1} y^{3} + x^{2 n} y^{4}) \div {(\frac{3}{2} x^{n} y)}^{2}$

题目SH-050-010难度 D · 提升

用长除法求下列各式的商式与余式：

⑴ $(2 x^{3} + 3 x - 4) \div (x - 3)$

⑵ $(- 3 x^{2} + x^{3} - x - 1) \div (3 x^{2} - 2 x + 1)$

题目SH-050-011难度 D · 提升

已知，求的值．

题目SH-050-012

商店经营一种产品，定价为 $20$ 元/件，每天能售出 $80$ 件，而每降价 $x$ 元，则每天可多售出 $(x + 2)$ 件，则降价 $x$ 元后，每天的销售总收入是_______元．

题目SH-050-013

计算： $2 (x - 4) - (x - 6) (x - 3) + x^{2}$ ．

题目SH-050-014

计算： $[{(2 a - b)}^{2} + 4 b (3 a - \frac{1}{4} b)] \div 2 a$

题目SH-050-015

计算： $(- \frac{3}{2} x^{m + 1} + \frac{5}{6} x^{m} + \frac{1}{6} x^{m - 1}) \div (\frac{1}{12} x^{m - 1})$ ．

题目SH-050-016

多项式的积 $(3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x + 6) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 4)$ 中 $x^{3}$ 项的系数是____________．

题目SH-050-017

将一多项式 $[(17 x^{2} - 3 x + 4) - (a x^{2} + b x + c)]$ 除以 $(5 x + 6)$ 后，得商式为 $(2 x + 1)$ ，余式为 $0$ ，则 $a - b - c$ 的值是_____________．

题目SH-050-018

计算：

⑴ $a (a + b + c)$ ； ⑵ $(a + b) (c + d)$ ； ⑶ $(m^{2} + m + 1) (m + 1)$ ．

题目SH-050-019

计算：

⑴ $(- 5 a^{n + 1} b) (- 2 a)$ ； ⑵ ${(x - y)}^{2} - (x + y) (x - y)$ ；

⑶ $(x + 2 y) (3 x - 5 y) - (6 x^{4} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}) \div (2 x^{2} y^{2})$ ；

⑷ $8 {(x - y)}^{4} {(x + y)}^{3} \div 27 {[(x + y) (x - y)]}^{3}$ ．

题目SH-050-020

计算：

⑴ $(x + y) (x + 3 y) (y - x) (x - 3 y)$ ； ⑵ $[{(\frac{1}{2} x - y)}^{2} + {(\frac{1}{2} x + y)}^{2}] (\frac{1}{2} x^{2} - 2 y^{2})$ ；

⑶ $(x^{2} - 2 x + 3) (x - 1) (x + 1)$ ．

题目SH-050-021

⑴ $16 x y^{3} \cdot {(- \frac{1}{2} x y)}^{3} \div \frac{1}{2} x^{4} y^{5}$ ； ⑵ ${(- a \cdot a^{2})}^{3} \div [(- a^{2}) \cdot {(- a^{3})}^{2}]$ ．
已知长方体的体积为 $3 a^{3} b^{5} (c m^{3}),$ 它的长为 $a b (c m)$ ，宽为 $\frac{3}{2} a b^{2} (c m)$ ，求：

⑴它的高；⑵它的表面积．

题目SH-050-022

⑴求 $(x^{2} - 6 x - 27) \div (x + 3)$ 的商式和余式；

⑵求 $(- 4 x^{2} + 3 x^{3} + 5 x - 1) \div (x^{2} + 3 x - 1)$ 的商式和余式．

题目SH-050-023

计算：

⑴ $4 a^{3} (\frac{3}{2} a b - b^{2}) - 5 a^{2} b (2 a^{2} - 3 a b + 1)$ ；

⑵ $x (x^{2} - x - 1) + 3 (x^{2} + x) - \frac{1}{3} x (3 x^{2} + 6 x)$ ．

⑴ $2 x^{2} \cdot y \cdot (- \frac{1}{2} x y^{2}) {(- 3 x y z)}^{2}$ ；

⑵ $x^{n + 1} \cdot (x^{2 n} - x^{n + 1} + x^{2})$ ；

⑶ ${(- 5 a)}^{2} \cdot \frac{1}{5} a - 4 a (a^{2} - 2 a - 3) - (a - 1) (a^{2} - 2)$ ．

题目SH-050-024

一个二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ ，将它与一个二项式 $a x + b$ 相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，求 $a$ ， $b$ 的值？
多项式的积 $(2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 6) (3 x^{3} + 7 x^{2} + 5 x - 4)$ 中 $x^{4}$ 项的系数是．
用长除法求下列各式的商式与余式：

⑴ $(x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 3) \div (x - 3)$ ．

⑵ $(6 x^{3} + 14 x^{2} + 23) \div (3 x^{2} - 2 x + 4)$ ．