第3讲 圆与扇形

⑴ 半径为$2.5$厘米的圆的周长为________厘米．

⑵ 直径是$3$厘米的圆的面积是________平方厘米．（结果保留$\pi$）

⑶ 周长为$6.28$厘米的圆的面积为________平方厘米．

⑴ 已知小圆的半径是大圆半径的$\frac{1}{3}$，大圆的周长是$12\pi$，则小圆的周长是______．（结果保留$\pi$）

⑵已 知大圆的半径是小圆的两倍，小圆的周长是$2\pi$，面积是$\pi$，那么大圆的周长是_________，面积是___________．（结果保留$\pi$）

⑴ 一圆环大圆直径为$4$厘米，小圆半径为$1$厘米，则圆环面积为________平方厘米．

⑵ 一个圆环，环宽是$2$厘米，外圆直径是$1$分米，这个环形的面积是$\_\_\_\_\_\_\_$平方厘米．

我们可以发现，在同一个圆中，当圆心角变大时，弧长变大

当圆心角小于$180°$时，称这个弧为劣弧

当圆心角等于$180°$时，称这个弧为半圆

当圆心角大于$180°$时，称这个弧为优弧

注：半圆与半圆形的差别

⑴ 半圆：即圆的一半，是一段弧．

⑵ 半圆形：是半圆和直径所围成的封闭图形．

2．弧长

设圆的半径长为$r$，$n°$圆心角所对的弧长是$l$，

则弧长公式：$l=\frac{n}{180}\pi r$

3．扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．

4．扇形面积:

设组成扇形的半径为$r$，圆心角为$n°$，弧长为$l$，

则扇形面积公式：${{S}_{}}=\frac{n}{360}\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{2}lr$

⑴ 半径为$2.5$厘米，圆心角为$18°$的弧长为________厘米．

⑵ 半径为$10$厘米，圆心角为$270°$的扇形面积为________平方厘米．（结果保留$\pi$）

⑶ 长度为$3.14$厘米，半径为$10$厘米弧所围成的扇形面积为________平方厘米．

⑷ 一个半圆形的半径是$2R$，它的周长是________．（结果用$\pi$和$R$表示）

已知一座时钟的分针与时针的长度之比为$2:1$，从下午$3:00$到下午$3:30$，分针的针尖走过的距离是$20$，分针扫过的面积为，则在这段时间内，时针的针尖走过的距离是，时针扫过的面积为． （结果保留$\pi$）

问题：若在画莱洛三角形时，选取的正三角形边长为$2$厘米，则所得莱洛三角形的周长为多少？

点轨迹问题

如图，两地之间有$3$条可行的路线，正确表示长短关系的语句是（）

A．一样长； B．线路1最短； C．线路2最短； D．线路3最短

如图，已知甲、乙两个圆的半径之比$3:8$，每个圆又被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成黑、白两个扇形的面积之比为$1:2$，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为$1:3$，那么图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形面积之和的比是_________．

如图是由两个正方形和两个扇形组成的组合图形，那么阴影部分的周长为________$cm$．

已知一个小圆的半径是大圆半径的$\frac{1}{2}$，若两圆的面积之和为$20c{m}^2$，则大圆面积为_______$c{m}^2$．

如图，已知正方形面积为$6c{m}^2$，则正方形中最大的圆的面积为_______$c{m}^2$．

元旦期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买$4$罐易拉罐饮料，营业员将$4$罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为$7$厘米，那么捆$4$圈至少用绳子多少厘米？

⑴ 圆周率表示同圆内_________和_________的倍数关系，用字母_________表示．

⑵_________决定圆的位置，_________决定圆的大小．

⑴ 圆的周长是$62.8$厘米，那么它的面积是_________平方厘米．

⑵ 一个圆环，环宽（大圆半径与小圆半径之差）是$3$厘米，外圆直径是$1$分米，这个环形的面积是$\_\_\_\_\_\_\_$平方厘米．（结果保留$\pi$）

⑴ 圆心角是$45°$，半径长度是$12$的扇形的弧长是 __________．

⑵ 圆心角为$120°$，弧长为$12\pi$的扇形半径是 ．

⑶ 已知扇形弧长是$9.42$米，扇形面积是$9.42$平方米，那么这个扇形的圆心角是 度．

如图，以三角形的三个顶点为圆心，$1cm$为半径在三角形画圆弧，阴影部分的面积是______$c{m}^2$．

如图，把边长为$3$的正三角形放在直线上，让三角形绕顶点$C$顺时针转动，以此类推，使$A$到达$A\text{'}\text{'}$处，求$A$点走过的路程．（精确到$0.01$）

⑴ 圆的半径扩大为原来的$5$倍，面积扩大为原来的$($　　$)$倍．

A．$5$； B．$\pi$； C．$25$； D．$10$．

⑵ 扇形的半径扩大为原来的$2$倍，圆心角缩小为原来的$\frac{1}{2}$，那么扇形的面积$($　　$)$

A．不变； B．扩大为原来的$2$倍；

C．缩小为原来的$\frac{1}{2}$； D．扩大为原来的$4$倍．

⑶ 在一个长12厘米，宽10厘米的长方形内画一个最大的圆，这个圆的面积是______平方厘米．

⑴ 面积为$6\pi$，圆心角为$60°$的扇形的半径为__________．

⑵ 若一个扇形的半径是$18cm$，面积是$54\pi c{m}^2$，则扇形的圆心角为$($　　$)$

A．$30°$； B．$60°$； C．$90°$； D．$120°$

扇子是引风用品，夏令必备之物，中国传统扇文化有深厚的文化底蕴，它与竹文化，道教文化，儒家文化有密切的关系．如图，$AD$的长为$10cm$，贴纸部分$BD$的长为$20cm$，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条$AB$，$AC$夹角为$120°$，则贴纸部分的面积为$($　　$)$

A．$100\pi c{m}^2$； B．$\frac{400}{3}\pi$ $c{m}^2$； C．$800\pi c{m}^2$； D．$\frac{800}{3}\pi c{m}^2$．

⑴ 两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是6分米，当另一个轮子转一周时，它要转3周，另一个轮子的直径是$($　　$)$分米．

A．$\frac{1}{3}$； B．$\frac{1}{2}$； C．$\frac{2}{3}$； D．$\frac{3}{4}$．

⑴ 扇形的弧长为$20\pi cm$，面积为$240\pi c{m}^2$，那么扇形的半径是$($　　$)$

A．$6cm$； B．$12cm$； C．$24cm$； D．$28cm$．

⑵ 钟表的时针长5厘米，从$9:00$点到$10:00$点，一小时中它的尖端走过________厘米．（结果保留$\pi$）

如图有三个同心圆，三个圆的半径依次为$1$厘米、$2$厘米、$3$厘米，五条半径将大圆面积平均分

如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框$ABCD$变形为以$A$为圆心，$AB$为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形$DAB$的面积为$($　　$)$

A．12； B．14； C．16； D．36．

如图正方形$ABCD$的边长为$1$厘米，现在依次以$A$、$B$、$C$、$D$为圆心，以$AD$、$BE$、$CF$、$DG$为半径画出扇形，得到图中阴影部分．求阴影部分的面积．（结果保留$\pi$）

如图，阴影部分的面积是$50c{m}^2$，求环形的面积．（结果保留$\pi$）

如图所示，$200$米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆，已知每条跑道宽$1.22$米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（$\pi$取$3.14$，结果精确到$0.01$）

【巩固12,13,14】

如图所示，点$O$为正方形$ABCD$对角线的交点，$OC$长为$R$，若正方形$ABCD$沿直线$l$向右滚动（无滑动），当正方形滚动四次时，点$O$经过的路径长是多少？

如图所示，点$O$为等边$△ABC$的中心，$OC$长为$R$，若等边$△ABC$沿直线$l$向右滚动（无滑动），当等边$△ABC$滚动三次时，点$O$经过的路径长是多少？

如图所示，点$O$为正五边形$ABCDE$的中心，$OD$长为$R$，若正五边形$ABCDE$沿直线$l$向右滚动（无滑动），当正五边形滚动五次时，点$O$经过的路径长是多少？（提示：正五边形的一个内角为$108°$）

如图，光光同学使一长为$4cm$，宽为$3cm$的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点$A$位置变化为$A\to A_1\to A_2$，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成$30°$角，则点$A$翻滚到$A_2$位置时共走过的路径长为多少？