第3讲中考题集之四边形

题目SH-164-001难度 B · 巩固

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $C A$ 平分 $∠ B C D$ ， $D E ∥ A C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ， $∠ B = 2 ∠ E$ ．

⑴求证： $A B = D C$ ；

⑵若 $t a n B = 2$ ， $A B = \sqrt{5}$ ，求边 $B C$ 的长．

题目SH-164-002难度 B · 巩固

如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为 $E$ ，并延长 $D E$ 至 $F$ ，使 $E F = D E$ ．连接 $B F, C F, A C$ ．

⑴求证：四边形 $A B F C$ 是平行四边形；

⑵如果 $D E^{2} = B E \cdot C E$ ，求证：四边形 $A B F C$ 是矩形．

题目SH-164-003难度 C · 综合

己知：如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $B C, C D$ ， $∠ B A F = ∠ D A E$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $G$ ．

⑴求证： $B E = D F$ ；

⑵当 $\frac{D F}{F C} = \frac{A D}{D F}$ 时，求证：四边形 $B E F G$ 是平行四边形．

题目SH-164-004难度 C · 综合

题目SH-164-005

如图，矩形中，，，为中点，点在线段上运动，垂直平分，垂足为，分别交、于、．

⑴ 求的值；

⑵ 设，四边形的面积为，求关于的函数关系式；当取最大值时，判断四边形的形状，并说明理由．

题目SH-164-006难度 D · 提升

题目SH-164-007

如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点、点重合），将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为，联结，．
⑴ 求证：；
⑵ 当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；
⑶ 设，四边形的面积为，求与的函数关系式，试问是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

题目SH-164-008难度 E · 挑战

题目SH-164-009

在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形为矩形，边在轴上，边在轴上，是矩形的对角线，点的坐标是，点在轴上，．

⑴ 求点的坐标；

⑵ 点从点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动，点运动的速度是个单位/秒，设的面积为，点的运动时间为，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）；

⑶ 在⑵的条件下，点的运动过程中，是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

题目SH-164-010难度 E · 挑战

矩形 $A B C D$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，点 $E$ 为矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一动点， $∠ E A D$ 的平分线交 $C D$ 于点 $F$ ，过点 $A$ 作 $E A$ 的垂线交 $C D$ 的延长线于点 $G$ ．

⑴ 如图 $1$ ，求证： $A G = D F + \frac{\sqrt{3}}{3} B E$

⑵ 当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，如图 $2$ ，点 $H$ 在 $G A$ 的延长线上，联结 $B H$ ，点 $M$ 为 $B H$ 中点，联结 $F M$ ， $F M = \sqrt{21}$ ，联结 $C H$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，若 $t a n ∠ B C H = \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ ，求 $N H$ 的长．

题目SH-164-011难度 E · 挑战

题目SH-164-012

已知四边形中．、分别是、边上的点，与交于点．

题目SH-164-013

⑴如图，若四边形是矩形．，．且，则．（用含，的代数式表示）

⑵如图，若四边形是平行四边形，当时，⑴中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

题目SH-164-014

⑶拓展探究：如图，若，，，，请直接写出的值．

题目SH-164-015

图图图

题目SH-164-016难度 E · 挑战

题目SH-164-017

如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使．
⑴ 求证：

⑵ 延长、交于点，联结、，若为中点，，求的长．

题目SH-164-018

已知：如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $F$ ，点 $E$ 是边 $B C$ 延长线上一点，且 $∠ C D E = ∠ A B D$ ．

⑴求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

⑵连接 $A E$ ，交 $B D$ 于点 $G$ ，求证： $\frac{D G}{G B} = \frac{D F}{D B}$ ．

题目SH-164-019

如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，在 $B C$ 边上取一点 $E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 翻折，使点 $B$ 落在 $D C$ 边上的点 $F$ 处．

⑴ 求 $C F$ 和 $E F$ 的长；

⑵ 一动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1 c m$ 的速度沿 $A F$ 向终点 $F$ 作匀速运动，过点 $P$ 作 $P M ∥ E F$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ∥ A F$ 交 $E F$ 于点 $N$ ．设点 $P$ 运动的时间为 $t$ $(0 < t < 10)$ ，四边形 $P M N F$ 的面积为 $S$ ，试探究 $S$ 的最大值？

⑶ 以 $A$ 为坐标原点， $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，在⑵的条件下，联结 $F M$ ，若 $△ A M F$ 为等腰三角形，求点 $M$ 的坐标．