代数4-整式、分式、因式分解 · 第 035 讲

第12讲分式概念初步

19 道题4 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

分式的基本概念

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

分式的基本概念

一、分式的基本概念

⑴定义：两个整式 $A$ 、 $B$ 相除，即 $A \div B$ 时，可以表示为 $\frac{A}{B}$ ．如果 $B$ 中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫做分式（fraction）． $A$ 叫做分式的分子， $B$ 叫做分式的分母．

⑵分式 $\frac{A}{B}$ 有意义的条件：；

⑶分式 $\frac{A}{B} = 0$ 的条件：；

⑷分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即

$\frac{A}{B} = \frac{A \times M}{B \times M} = \frac{A \div N}{B \div N}$ ，其中 $M$ 、 $N$ 为整式，且 $B \neq 0$ ， $M \neq 0$ ， $N \neq 0$ ．

题目SH-035-001难度 A · 基础

下列各式中,哪些是分式？

① $\frac{x^{2} + 1}{3}$ ② $\frac{2 x^{2}}{π}$ ③ $x \div y$ ④ $\frac{x^{2} - 1}{y + 1}$ ⑤ $\frac{x^{2}}{2 x}$

题目SH-035-002难度 B · 巩固

求使下列各式无意义的 $x$ 的取值：

① $\frac{x (x + 1)}{x (1 - x)}$ ② $\frac{x - 3}{x^{2} + 6 x + 9}$ ③ $\frac{x - 3}{5 - | x - 1 |}$ ④ $\frac{1}{2 - \frac{1}{x}}$

题目SH-035-003难度 B · 巩固

⑴若 $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 9} = 0$ , 则 $x =$ .

⑵若 $\frac{| x + 4 | - 2}{x^{2} + 12 x + 36} = 0$ , 则 $x =$ .

题目SH-035-004难度 C · 综合

⑴已知 $\frac{| x - 1 |}{{(x - 1)}^{2}} = - \frac{1}{x - 1}$ ，则 $x$ 的取值范围为（）

A. $x < 1$ B. $x > 1$ C. $x \neq 1$ D. $x \leq 1$

⑵若 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 的值是非负数，则 $x$ 的取值范围为（）

A. $x \geq 2$ 或 $x \leq - 3$ B. $- 3 < x < 2$ C. $x \geq 2$ 或 $x < - 3$ D. $- 3 < x \leq 2$

分式的运算

知识模块 02 · 原讲小节

分式的约分和通分

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知识讲解定义、性质与方法

⑴约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程．

⑵最简分式：如果一个分式的分子与分母除 $1$ 外没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．

约分可以化简分式．如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分；化简分式时，要将分式化为最简分式或整式．

⑶通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母分式的过程．

通分要先确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母．这样的公分母叫做最简公分母．

知识模块 03 · 原讲小节

分式的运算

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知识讲解定义、性质与方法

①分式的加减：

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A D \pm B C}{B D}$

②分式的乘除：

两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母．

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$

分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．

$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A D}{B C}$

③分式的乘方：

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ （ $n$ 为整数）

注

n \leq 0

时，

a \neq 0

；

n = 0

且

a \neq 0

时，分式值为

1

．

分式混合运算的运算顺序:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，先算括号内的．

知识模块 04 · 原讲小节

分数幂运算（整数指数幂）

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知识讲解定义、性质与方法

规定 $a^{- p} = \frac{1}{a^{p}}$ （ $a \neq 0$ ， $p$ 为自然数）

①同底数幂相乘： $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ （ $m$ ， $n$ 为整数， $a \neq 0$ ）

同底数幂相除： $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ （ $m$ ， $n$ 为整数， $a \neq 0$ ）

②幂的乘方： ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ （ $m$ ， $n$ 为整数， $a \neq 0$ ）

③积的乘方： ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$ （ $m$ 为整数， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ）

题目SH-035-005难度 A · 基础

请将下列各分式化成最简分式

① $\frac{16 a^{7} b^{4}}{12 a^{3} b^{5}}$ ② $\frac{3 m^{2} + 6 m}{m^{2} - m - 6}$ ③ $\frac{6 x^{- 3} y^{2}}{4 x^{- 2} y^{- 5}}$

题目SH-035-006难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{m + 2}{m - 3} \cdot \frac{m^{2} - 9}{m^{2} + 4 m + 4}$

⑵ $\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} + 3 x + 2} \div \frac{x - 2}{x + 1}$

⑶ $\frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 - x} \cdot \frac{x^{2} + 3 x - 10}{3 x + 6}$

题目SH-035-007难度 C · 综合

计算：

⑴ ${(- \frac{b}{a})}^{2} \cdot {(- \frac{a}{b^{2}})}^{3} \div {(- \frac{b}{a})}^{- 4}$

⑵ $\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

题目SH-035-008难度 A · 基础

请找出下列三个分式的最简公分母，并通分

① $\frac{1}{x^{2} - x}$ ② $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ③ $\frac{1 - x}{x + x^{2}}$

题目SH-035-009难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{x + 3 y}{x^{2} + x y} + \frac{y - x}{x y + y^{2}}$

⑵ $\frac{3}{2 x + 6} - \frac{1}{6 - 2 x} + \frac{3}{9 - x^{2}}$

⑶ $(\frac{a - 2}{a^{2} + 2 a} - \frac{2 a - 1}{a^{2} - 4}) \div \frac{a^{2} + a - 2}{a^{2} + 4 a + 4}$

题目SH-035-010难度 C · 综合

化简：⑴ $\frac{1}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{1}{x^{2} + 7 x + 12}$

⑵ $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} + \frac{2 a}{a^{2} + b^{2}} + \frac{4 a^{3}}{a^{4} + b^{4}}$

题目SH-035-011难度 C · 综合

已知 $x^{2} = 25$ ，求代数式 $\frac{x - 5}{x + 3} \div \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} + 10 x + 50} \cdot \frac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{3} - 125}$ 的值．

题目SH-035-012

下列分式是最简分式的是（）

$A .$ $\frac{x^{2} + x y}{2 x}$ $B .$ $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a + b}$ $C .$ $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ $D .$ $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

$\frac{a^{2} - 4}{1 + \frac{1 + 3 a}{2 a}}$ 无意义，则 $a =$ ．

题目SH-035-013

计算： ${(\frac{b}{2 a x})}^{2} \div (- \frac{a x}{3 b}) \times \frac{8 a}{b^{3}}$

题目SH-035-014

计算： $(x - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 4}$

题目SH-035-015

计算： $\frac{a^{3}}{a^{2} - a - 2} \cdot \frac{a - 2}{a^{2} - 3 a} - \frac{a - 3}{a^{2} + 3 a + 2} \div \frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} + 4 a + 4}$

⑴下列代数式 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 、 $\frac{x}{3} + \frac{y}{2}$ 、 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 、 $\frac{n^{2}}{3}$ 、 $\frac{x}{π} + 1$ 、 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 、 $x y^{2} \div z^{5}$ 、 $3 x^{- 2} y^{3}$ ，

其中分式有个，整式有个.

⑵当 $x$ 时，分式 $\frac{x - 1}{x^{2} - x}$ 有意义；当 $x$ 时，式子 $\frac{1}{1 - | x - 1 |}$ 无意义.

⑴若分式 $\frac{a^{2} + 1}{2 a - 7} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是.

⑵已知当 $x = 1$ 时，分式 $\frac{- 3 x + a}{x + 2}$ 的值为零，则 $a =$ .

⑶使得分式 $\frac{x^{2} - x - 2}{1 - x^{2}}$ 的值等于零的 $x$ 的值是.

题目SH-035-016

⑴约分：① $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 6 x + 9}$ ② $\frac{3 a b {(a - b)}^{5}}{12 a {(b - a)}^{3}}$ ③ $\frac{(3 a - 2 a^{2}) (3 - 2 a - a^{2})}{(a^{2} + a) (2 a^{2} - 5 a + 3)}$

⑵通分：① $\frac{3}{4 a^{2} b}, - \frac{5}{6 b^{2} c}, \frac{1}{2 a c^{2}}$ ② $\frac{x + 2}{2 x + 2}, \frac{x}{x^{2} - x - 2}, \frac{3}{8 - 4 x}$

计算：⑴ $\frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 3}$ ⑵ $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$

⑶ $[\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + y} (\frac{x + y}{3 x} - x - y)] \div \frac{x - y}{x}$ ⑷ $\frac{2 a b^{- 2}}{a^{- 1} b^{3}} \cdot \frac{3 a^{- 1} b^{- 2}}{a b^{- 1}} \div {(- \frac{b}{a})}^{- 4}$

计算： $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \dots + \frac{1}{(x + 2019) (x + 2020)}$
已知 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 15$ ，求 $\frac{a b - a c + a^{2}}{a^{2} - a b} \cdot \frac{{(a - b)}^{2} - c^{2}}{2 a b + a^{2} + b^{2}} \div \frac{a^{2} - {(b - c)}^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ 的值.

题目SH-035-017

求使得下列各式有意义的 $x$ 的范围

① $\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)}$ ② $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 2}$ ③ $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

题目SH-035-018

以下分式化简：① $\frac{4 x + 2}{6 x - 1} = \frac{2 x + 2}{3 x - 1}$ ;② $\frac{x + a}{x + b} = \frac{a}{b}$ ；③ $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = x + y$ ;④ $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y} = x + y$ .其中错误的有（）个.

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

题目SH-035-019

计算：⑴ $x \cdot \frac{1}{y} \div y \cdot \frac{1}{x}$ ；⑵ $8 m^{2} n^{4} \cdot (- \frac{3 m}{4 n^{3}}) \div (- \frac{m^{2} n}{2})$
计算：⑴ $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x + 3}{x^{2} + x - 2}$ ;⑵ $\frac{1}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$
求代数式 $\frac{x + 1}{x + 2} \div \frac{x + 3}{x + 4} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} + 8 x + 16}$ 的值，其中 $| x | = 3$ .
已知实数 $a$ 满足 $a^{2} + 2 a - 4 = 0$ ,求 $\frac{1}{a + 1} - \frac{a + 3}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} + 4 a + 3}$ 的值.
化简： $\frac{a - b}{(c - a) (c - b)} + \frac{b - c}{(b - a) (a - c)} + \frac{c - a}{(b - c) (b - a)}$ .
已知 $a = 667$ ， $b = 334$ ，求 ${(\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}})}^{3} \div {(\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{4} - b^{4}})}^{2} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{{(a^{2} - 2 a b + b^{2})}^{2}}$ 的值．
化简： $(\frac{1}{a^{2} - a b + b^{2}} - \frac{b - a}{a^{3} - b^{3}}) \div \frac{a^{4} - a^{2} b^{2} - 2 b^{4}}{(a^{6} - b^{6}) - (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4})}$
化简： $\frac{a - b}{a + b} + \frac{b - c}{b + c} + \frac{c - a}{c + a} + \frac{(a - b) (b - c) (c - a)}{(a + b) (b + c) (c + a)}$