第22讲 分式化简和求值

通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程．

通分要先确定公分母，若分母为单项式，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母．若分母为多项式，则先对每个分母进行因式分解，然后取各个因式的最高次项的乘积作公分母.这样的公分母叫做最简公分母．

分式的运算：

分式的乘除：

两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母：$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$

分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘：$\frac{A}{B}÷\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$

分式的加减：

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：$\frac{A}{B}\pm \frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}$

异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式（通分），然后再进行加减：$\frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{AD\pm BC}{BD}$

分式的乘方：${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$（$n$为整数且$b\ne 0$）

$n\le 0$时，$a\ne 0$；$n=0$且$a\ne 0$时，分式值为$1$．

分式混合运算的运算顺序:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，先算括号内的．

整数指数幂：规定$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\ne 0$，$p$为自然数）

同底数幂相乘：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$（$m$，$n$为整数，$a\ne 0$）

同底数幂相除：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$m$，$n$为整数，$a\ne 0$）

2. 幂的乘方：${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$（$m$，$n$为整数，$a\ne 0$）

3. 积的乘方：${\left(ab\right)}^m=a^m{b}^m$（$m$为整数，$a\ne 0$，$b\ne 0$）

设$k$法；

【例】已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$,则$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}=$ .

设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$,则$x=2k$,$y=3k$,$z=4k$，原式$=\frac{2k\cdot 3k+3k\cdot 4k+4k\cdot 2k}{{\left(2k\right)}^2+{\left(3k\right)}^2+{\left(4k\right)}^2}=\frac{26}{29}$

取倒数法；

【例】已知$\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{3}，\frac{yz}{y+z}=\frac{1}{4}，\frac{zx}{z+x}=\frac{1}{5}$,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=$ .

先将条件倒数得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$，$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=5$，

上面三式相加得,$2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=12$,$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6$．

$x+\frac{1}{x}$类型化简求值．

【例】已知$x+\frac{1}{x}=7$,则$x^2+\frac{1}{x^2}=$ .

$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=47$．

⑴已知非零实数$x,y$满足$3x^2+2xy-8y^2=0$，则$\frac{7x-6y}{x+2y}=$ ．

⑵已知$xy\ne 0$且满足$x^2+5xy+3y^2=0$，则$\frac{2x^2+7xy+6y^2}{5x^2-5xy+15y^2}=$ ．

⑶已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=1$，那么$\frac{5m+7mn-5n}{3n-4mn-3m}$的值为.

已知非零实数$x,y,z$满足$4x-3y-6z=0$，$x+2y-7z=0$，求$\frac{2x^2+3y^2+6z^2}{x^2+5y^2+7z^2}$的值.

⑴已知$x^2+3x-8=0$，求代数式$\frac{1}{x-2}\cdot \frac{x^2-4x+4}{x+1}-\frac{x-1}{x+2}$的值.

⑵已知实数$a$满足$a^2-5a-2016=0$，求$\frac{{\left(a-2\right)}^3-{\left(a-1\right)}^2+1}{a-2}$的值．

⑴已知$\frac{xy}{x+y}=1，\frac{yz}{y+z}=2，\frac{zx}{z+x}=3$,则$x$的值为（）．

A.$\frac{6}{5}$ B.$\frac{12}{5}$ C.$\frac{5}{6}$ D.$\frac{5}{12}$

⑵已知$a、b、c$为实数，且$3ab=a+b$，$4bc=b+c$，$5ca=c+a$，

则$\frac{abc}{ab+bc+ca}$的值为（）．

A.$6$ B.$12$ C.$\frac{1}{6}$ D.$\frac{1}{12}$

⑴已知非零实数$x,y,z$满足$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{6}$，求$\frac{x+y+z}{3x-2y+z}$的值.

⑵已知$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=k$，求$k$及$\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}$的值.

已知实数$x$满足$x+\frac{1}{x}=3$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x^3+\frac{1}{x^3}$的值．

已知实数$x$满足$x^2-3x+1=0$，求$\frac{x^3}{x^6-4x^3+1}$的值.

已知$\frac{x}{x^2-4x+1}=1$，求$\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-7x^2+1}$的值.

已知$x^2-4x+1=0$，求$x^3+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x}$的值.

⑴如果非零实数$x,y$满足$\frac{2x}{y}+\frac{3y}{x}=-5$，求代数式$\frac{4x^2+10xy+6y^2}{2x^2+3y^2}$的值.

⑵已知非零实数$x,y$满足$2x^2+3xy-2y^2=0$，求代数式$\frac{x^2-2xy+3y^2}{2x^2+y^2}$的值.

2. 已知非零实数$a,b,c$满足$2a-3b+c=0$，$3a-2b-6c=0$，求$\frac{a^2-2b^2+3c^2}{ab-bc-ca}$的值.

3. ⑴已知实数$a$满足$a^2-a=7$，则代数式$\frac{a-1}{a+2}\cdot \frac{a^2-4}{a^2-2a+1}÷\frac{1}{a^2-1}$的值是.

4. 设$a、b、c$均为非零实数，且满足$ab=2\left(a+b\right)$，$bc=3\left(b+c\right)$，$ca=4\left(c+a\right)$，

则$a+b+c=$ .

⑴已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$，求$x+y+z$的值.

⑵若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k$，求$k$的值.

⑴已知$x^2-5x+1=0$，求$x^2+x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}$的值.

⑵已知$\frac{2a}{a^2-a+1}=1$，求$\frac{a^3}{a^6+1}$的值.

已知非零实数$a,b$满足$a^2+ab-2b^2=0$，则$\frac{2a-b}{2a+b}=$（）．

A.$\frac{1}{3}$ B.$\frac{5}{3}$或$\frac{3}{5}$ C.$\frac{1}{3}$或$\frac{3}{5}$ D.$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

2. 已知非零实数$a,b,c$满足$\frac{a+b}{9}=\frac{b-2c}{4}=\frac{3c-a}{5}\ne 0$，则$\frac{5a+6b-7c}{8a+9b}$的值为.

3. 已知$a^2+4a-5=0$，先化简，再求值：$1-\left(a-\frac{1}{1-a}\right)÷\frac{a^2-a+1}{a^2-2a+1}$．

4. 已知$x+\frac{1}{x}=5$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.

5. 已知$x+\frac{1}{x}=4$，求$\frac{x^4+5x^2+1}{x^2}$的值.

6. 已知实数$m$满足$m^2-3m+1=0$，求代数式$m^2+\frac{19}{m^2+2}$的值．

1. 已知非零实数$a,b,c$满足$\{\begin{array}{c}a+2b-4c=0\\ 2a-b-3c=0\end{array}$，求$\frac{a^2-b^2-c^2}{a^2+b^2+c^2}$的值.

2. 已知实数$a$满足$a^2+2a=0$,先化简，再求值：$\frac{a-1}{a+2}\cdot \frac{a^2-4}{a^2-2a+1}÷\frac{1}{a^2-1}$．

3. 已知$a=667$，$b=334$，求${\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)}^3÷{\left(\frac{a^2+2ab+b^2}{a^4-b^4}\right)}^2\cdot \frac{a^2+b^2}{{\left(a^2-2ab+b^2\right)}^2}$的值．

4. 已知$x^2-3x+1=0$,求代数式$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值．

5. 已知$a^2+4a+1=0$，且$\frac{a^4+m{a}^2+1}{3a^3+m{a}^2+3a}=5$，求$m$的值．

1. 已知实数$a$满足$a^2-5a+4=0$,先化简，再求值：$\frac{4a+12}{(3a-4)(a+2)}÷[a-2-\frac{5(a+2)}{a^2}÷{(\frac{a+2}{a})}^2]$．

2. 已知$x^2-5x+1=0$,求$x^2+x+\frac{x+1}{x^2}$的值．

3. 已知$x^4-3x^2+1=0$，求$x^8+\frac{7}{x^4}$的值．

4. 已知$\frac{x}{x^2-mx+1}=1$（$m$为常数），求$\frac{x^3}{x^6-m^3{x}^3+1}$．（用$m$表示）．

5. 已知$a^2-3a+1=0$，求$\frac{2a^5-5a^4+2a^3-8a^2}{a^2+1}$的值.