第12讲相似综合 · 章法数学

知识模块 01 · 原讲小节

相似综合

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

（一）相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．对于等积式的证明，常将其改成比例式．

1．横向定形法

欲证 $\frac{A B}{B E} = \frac{B C}{B F}$ ，横向观察，比例式中的分子的两条线段是 $A B$ 和 $B C$ ，三个字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 恰为 $△ A B C$ 的顶点；分母的两条线段是 $B E$ 和 $B F$ ，三个字母 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 恰为 $△ B E F$ 的三个顶点．因此只需证 $△ A B C ∽ △ E B F$ ．

2．纵向定形法

欲证 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ ，纵向观察，比例式左边的比 $A B$ 和 $B C$ 中的三个字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 恰为 $△ A B C$ 的顶点；右边的比两条线段是 $D E$ 和 $E F$ 中的三个字母 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 恰为 $△ D E F$ 的三个顶点．因此只需证 $△ A B C ∽ △ D E F$ ．

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

*比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题．这类问题的典型模型是共边型与射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

*倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为 $1$ ，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

*复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

（二）常见辅助线的作法

常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．当已知图形中有定比分点时，一般过定比分点作平行线．

知识模块 02 · 原讲小节

（三）基本模型

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知识讲解定义、性质与方法

题目SH-127-001

如图，若 $M N ∥ B C$ ， $E N ∥ B D$ ，求证： $C E ∥ D M$ ．

题目SH-127-002

如图，在四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，且 $∠ A E D = ∠ B = ∠ C = 60 °$ ，过点 $E$ 作 $E M ⊥ A D$ 于 $M$ ．求 $\frac{E M}{B C}$ 的值．

题目SH-127-003

如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 、 $G$ 分别为 $A D$ 、 $A C$ 的中点， $D F ⊥ B E$ ，垂足为 $F$ ，求证： $F G = D G$ ．

题目SH-127-004

如图，直角梯形 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = B C$ ，点 $E$ 为 $A B$ 中点， $B D ⊥ C E$ ， $B D 、 C E$ 相交于 $M$ 点．

⑴求证： $C M = 4 E M$ ；⑵联结 $A M$ 并延长交 $B C$ 于 $G$ 点，求 $\frac{A M}{M G}$ 的值．

题目SH-127-005

已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $D E / / B C$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上， $B C^{2} = B F \cdot B A$ ， $C F$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ．

⑴求证： $△ B C F ∽ △ D G F$ ；

⑵求证： $D F \cdot A B = B C \cdot D G$ ；

⑶当点 $E$ 为 $A C$ 中点时，求证： $2 D F \cdot E G = A F \cdot D G$ ．

题目SH-127-006

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 4$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，点 $M$ 是线段 $B D$ 上的一个动点．

⑴如图 $1$ ，若点 $M$ 恰好在 $∠ B C D$ 的角平分线上，则 $A M =$ ________；

题目SH-127-007

⑵如图 $2$ ，若点 $N$ 在线段 $A B$ 上，且 $∠ M C N = 45 °$ ，过点 $M$ 、 $N$ 分别作 $M E ⊥ C B$ 于点 $E$ 、 $M F ⊥ C A$ 于点 $F$ ．①求证： $△ A C M ∽ △ B N C$ ；②求 $A M \cdot B N$ 的值；③求 $C E \cdot C F$ 的值．

题目SH-127-008

如图，已知在 $△ A B C$ 中， $B C > A B$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交边 $A C$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $B C$ 边上一点，且 $B E = B A$ ，过点 $A$ 作 $A G ∥ D E$ ，分别交 $B D$ 、 $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ，联结 $F E$ ．

⑴求证：四边形 $A F E D$ 是菱形；

⑵求证： $A B^{2} = B G \cdot B C$ ；

⑶若 $A B = A C$ ， $B G = C E$ ，联结 $A E$ ，求 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值．

题目SH-127-009

如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = a$ ， $B C = b (a > b)$ ．在 $△ A B C$ 内依次作 $∠ C B D = ∠ A$ ， $∠ D C E = ∠ C B D$ ， $∠ E D F = ∠ D C E$ ．则 $E F$ 等于 $($ 　　 $)$

A． $\frac{b^{3}}{a^{2}}$ B． $\frac{a^{3}}{b^{2}}$ C． $\frac{b^{4}}{a^{3}}$ D． $\frac{a^{4}}{b^{3}}$

题目SH-127-010

评定： $lALPDgQ9rN7UgP_M2s0Eaw_1131_218$

题目SH-127-011

如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是 $A C$ 、 $A B$ 上的点，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $\frac{A B + B C}{B C} = \frac{A B}{B E}$ ．求证： $D E ∥ B C$ ．

题目SH-127-012

如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A D$ 的中点，直线 $E F$ 分别交 $C B$ 、 $C D$ 的延长线于 $G$ 、 $H$ ，且 $B C : A D = 7 : 4$ ， $A C = 28$ ，试求 $G H$ 的长．

题目SH-127-013

已知：如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 均为等腰三角形， $B A = B C$ ， $D A = D E$ ．如果点 $D$ 在 $B C$ 边上，且 $∠ E D C = ∠ B A D$ ．点 $O$ 为 $A C$ 与 $D E$ 的交点．

⑴求证： $△ A B C ∽ △ A D E$ ；⑵求证： $D A \cdot O C = O D \cdot C E$ ．

题目SH-127-014

如图， $A$ 、 $B$ 、 $E$ 在一条直线上，以 $A B$ 、 $B E$ 为边长向上作正三角形 $△ A B C$ 、 $△ B E D$ ．

⑴如图 $1$ ，联结 $A D$ 、 $C E$ ，相交于 $H$ ，求证： $A C^{2} = A M \cdot A H$ ；

⑵如图 $2$ ，若 $A B = 1$ ， $B E = 3$ ，点 $F$ 在 $B D$ 上， $B F = 2$ ，联结 $A F$ 交 $B C$ 于 $M$ ，联结 $E M$ ，交 $B D$ 于 $G$ 点，求 $B G$ 的长．

题目SH-127-015

如图在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上的一点， $E$ 为 $A D$ 上的一点， $B E$ 的延长线交 $A C$ 于点 $F$ ，已知 $\frac{B D}{B C} = \frac{1}{a}$ ， $\frac{A E}{A D} = \frac{1}{b} (a$ ， $b$ 为不小于 $2$ 的整数），则 $\frac{A F}{A C}$ 的值是________．

设 $△ A B C$ 的面积为 $1$ ，如图①，将边 $B C$ 、 $A C$ 分别 $2$ 等分， $B E_{1}$ 、 $A D_{1}$ 相交于点 $O$ ， $△ A O B$ 的面积记为 $S_{1}$ ；如图②将边 $B C$ 、 $A C$ 分别 $3$ 等分， $B E_{1}$ 、 $A D_{1}$ 相交于点 $O$ ， $△ A O B$ 的面积记为 $S_{2}$ ； $\dots$ ，依此类推，则 $S_{n}$ 可表示为________．（用含 $n$ 的代数式表示，其中 $n$ 为正整数）

题目SH-127-016

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $∠ B$ 的平分线分别与 $A D$ 、 $A C$ 交于 $E$ 、 $F$ ．

求证：⑴ $A E = A F$ ；⑵若 $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{E F}{C D} < A F \cdot C F$ ．