第9讲 一轮热身（三）

如图，已知$Rt△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=BC$，点$D$、$E$在边$AB$上．$\angle DCE=45°$，过点$A$作$AB$的垂线交$CE$的延长线于点$M$，联结$MD$．

⑴求证：$C{E}^2=BE\cdot DE$；

⑵当$AC=3$，$AD=2BD$时，求DE的长；

⑶过点$M$作射线$CD$的垂线，垂足为点$F$．设$\frac{BD}{BC}=x$，$tan\angle FMD=y$．求$y$关于$x$的函数关系式，并写出定义域．

四边形$ABCD$是菱形，$\angle B\le 90°$，点$E$为边$BC$上一点，联结$AE$，过点$E$作$EF\perp AE$，$EF$与边$CD$交于点$F$，且$EC=3CF$.

⑴如图$1$，当$\angle B=90°$时，求$S_{△ABE}$与$S_{△ECF}$的比值；

⑵如图$2$，当点$E$是边$BC$的中点时，求$cosB$的值；

⑶如图$3$，联结$AF$，当$\angle AFE=\angle B$且$CF=2$时，求菱形的边长.

【$\text{2}\text{0}\text{2}\text{1}$杨浦】

己知在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=-{\left(x-m\right)}^2+4$与$y$轴交于点$B$，与$x$轴交于点$C$、$D$（点$C$在点$D$左侧），顶点$A$在第一象限，异于顶点$A$的点$P$（1，$n$）在该抛物线上．

⑴如果点$P$与点$C$重合，求线段$AP$的长；

⑵如果抛物线经过原点，点$Q$是抛物线上一点，$tan\angle OPQ=3$，求点$Q$的坐标；

⑶如果直线$PB$与$x$轴的负半轴相交，求$m$的取值范围．

【$2018$浦东】

如图，已知在$△ABC$中，$\angle ACB=90°$，$BC=2$，$AC=4$，点$D$在射线$BC$上，以点$D$为圆心，$BD$为半径画弧交边$AB$于点$E$，过点$E$作$EF\perp AB$交边$AC$于点$F$，射线$ED$交射线$AC$于点$G$．

⑴求证：$△EFG\backsim △AEG$；

⑵设$FG=x$，$△EFG$的面积为$y$，求$y$关于$x$的函数解析式并写出定义域；

⑶联结$DF$，当$△EFD$是等腰三角形时，请直接写出$FG$的长度．