函数 · 第 078 讲

第14讲二次函数与二次方程及不等式

18 道题6 个知识模块答案解析精校中

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知识模块 01 · 原讲小节

二次函数与二次方程的关系

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知识讲解定义、性质与方法

及不等式

利用二次方程解决二次函数问题

二次函数与二次方程的关系

对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，当 $y = 0$ 时，就得到方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与 $x$ 轴的交点坐标．

知识模块 02 · 原讲小节

抛物线与 x 轴的交点

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知识讲解定义、性质与方法

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴的两个交点的横坐标 $x_{1}$ 、 $x_{2}^{}$ ，是对应一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根．抛物线与 $x$ 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

题目SH-078-001

有两个交点 $\Leftrightarrow$ $Δ > 0$ ；
有一个交点（顶点 $(- \frac{b}{2 a}, 0)$ ） $\Leftrightarrow$ $Δ = 0$ ；
没有交点 $\Leftrightarrow$ $Δ < 0$ ．

抛物线与平行于 $x$ 轴的直线 $y = k$ 的交点：可能有 $0$ 个交点、 $1$ 个交点、 $2$ 个交点．

当有 $2$ 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 $k$ ，则横坐标是 $a x^{2} + b x + c = k$ 的两个实数根．

抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴平行的直线 $x = h$ 有且只有一个交点 $(h ， a h^{2} + b h + c)$ ．
抛物线与 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + b$ 或其他抛物线的交点情况：

一元二次方程 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = k x + b$ 的实数根就是二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的图像与一次函数 $y = k x + b$ 的图像的交点的横坐标；
一元二次方程 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的实数根就是二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的图像与二次函数 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的图像的交点的横坐标．

【拓】抛物线与 $x$ 轴两交点 $A$ 、 $B$ 之间的距离: $A B = \frac{\sqrt{Δ}}{| a |}$ ．

若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴两交点为 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0)$ ，

由于 $x_{1}$ 、 $x_{2}^{}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，故 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

$A B = | x_{1} - x_{2} | = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \sqrt{{(- \frac{b}{a})}^{2} - \frac{4 c}{a}} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{| a |} = \frac{\sqrt{Δ}}{| a |}$

知识模块 03 · 原讲小节

抛物线与坐标轴交点问题

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题目SH-078-002难度 B · 巩固

⑴设抛物线 $y = x^{2} + (2 a + 1) x + 2 a$ 的图像与 $x$ 轴只有一个交点，则 $a$ 的值为 $__________$ ；

若抛物线的图像与 $x$ 轴有两个交点，则 $a$ 的取值范围为 $_______________$ ；

若抛物线的图像全在 $x$ 轴的上方，则 $a$ 的取值范围是 $_______________$ ．

⑵若关于 $x$ 的函数 $y = (a - 3) x^{2} - (4 a - 1) x + 4 a$ 的图像与坐标轴有两个交点，则 $a$ 的值为 $__________$ ．

知识模块 04 · 原讲小节

抛物线与特殊直线的交点问题

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题目SH-078-003难度 C · 综合

⑴设抛物线 $y = x^{2} + (a + 3) x + \frac{1}{2} a$ 的图像与直线 $y = - \frac{5}{4}$ 只有一个交点，则 $a$ 的值为 $__________$ ；

若抛物线的图像与直线 $y = - \frac{5}{4}$ 有两个交点，则 $a$ 的取值范围为 $_______________$ ；

若抛物线的图像全在直线 $y = - \frac{5}{4}$ 的上方，则 $a$ 的取值范围是 $_______________$ ．

⑵已知 $a$ 为常数：

①若抛物线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 3$ 的图像全在直线 $y = - \frac{1}{2} a + 2$ 的上方，则 $a$ 的取值范围为 $_______________$ ；

②若抛物线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 3$ 的图像全在直线 $y = - \frac{1}{2} a + 2$ 的下方，则 $a$ 的取值范围为 $_______________$ ；

③若抛物线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 3$ 的图像与直线 $y = - \frac{1}{2} a + 2$ 图像无交点，则 $a$ 的取值范围为 $_______________$ ；

知识模块 05 · 原讲小节

抛物线与一般直线的交点问题

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题目SH-078-004难度 B · 巩固

当 $b$ 分别为何值时，一次函数 $y = 5 x + b$ 与二次函数 $y = 2 x^{2} + 3 x + 5$ 的图像有两个交点？有一个交点？无交点？

题目SH-078-005难度 C · 综合

已知： $y$ 关于 $x$ 的函数 $y = (k - 1) x^{2} - 2 k x + k + 2$ 的图像与 $x$ 轴有交点．

⑴求 $k$ 的取值范围；

⑵若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是函数图像与 $x$ 轴两个交点的横坐标，且满足 $(k - 1) x_{1}^{2} + 2 k x_{2} + k + 2 = 4 x_{1} x_{2}$ ．

①求 $k$ 的值；

题目SH-078-006

②当 $k \leq x \leq k + 2$ 时，求 $y$ 的最大值与最小值．

知识模块 06 · 原讲小节

利用二次函数图像解二次不等式

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知识讲解定义、性质与方法

对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $y > 0 、 y < 0$ 时，即为一元二次不等式．

由二次函数图像可知，

$a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是抛物线在 $x$ 轴上方的点的横坐标构成的集合；

$a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是抛物线在 $x$ 轴下方的点的横坐标构成的集合．

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图像
$Δ = b^{2} - 4 a c$	$Δ > 0$	$Δ = 0$	$Δ < 0$
$a x^{2} + b x + c = 0$ 的根	$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$	$x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$	无实数解
$a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集	$x < x_{1}$ 或 $x > x_{2}$	$x \neq - \frac{b}{2 a}$	全体实数
$a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集	$x_{1} < x < x_{2}$	无实数解	无实数解

题目SH-078-007

求解一元二次不等式基本步骤：一化正，二算 $△$ ，三求根，四写解集

题目SH-078-008

化为标准形式： $a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 或 $a x^{2} + b x + c < 0 (a > 0)$
求判别式 $△$ ，并求出方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的实根
根据图像写出解集（记忆：大于取两边，小于取中间）

推广：

一元二次不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > k x + b$ 的解集是：

二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的图像在直线 $y = k x + b$ 上方的点的横坐标构成的集合；

一元二次不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的解集是：

二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 图像在二次函数 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 图像上方的点的横坐标构成的集合．

题目SH-078-009难度 B · 巩固

解下列一元二次不等式

⑴ $x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$ ； ⑵ $2 x^{2} + 3 x - 2 < 0$ ；

⑶ $- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ ； ⑷ $x^{2} - 3 \geq 1$ ；

⑸ $x^{2} - x - 1 < 0$ ； ⑹ $x^{2} + x + 2 > 0$ ；

⑺ $- x^{2} + 2 x - 4 > 0$

【思考】

若已知一个一元二次不等式的解集为 $2 < x < 3$ ，请写出一个满足该解集的二次不等式： $____________$ ；

若已知一个一元二次不等式的解集为 $x \leq 1$ 或 $x \geq 2$ ，请写出一个满足该解集的二次不等式： $____________$ ；

题目SH-078-010难度 B · 巩固

⑴如图，已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2} = k x + m$ 的图像相交于 $A (- 1, \frac{3}{2}) 、 B (6, 12)$ 两点，则能使关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > k x + m$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $____________$ ．

⑵抛物线 $y = x^{2} + 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的交点 $A$ 的横坐标是 $1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + 1 < \frac{k}{x}$ 的解集是 $____________$ ，不等式 $\frac{k}{x} + x^{2} + 1 < 0$ 的解集是 $____________$ ．

题目SH-078-011难度 C · 综合

⑴求 $a, b$ 的值，使得关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + a^{2} - 1 \leq 0$ 的解是 $- 1 \leq x \leq 2$ ．

⑵是否存在这样的 $k$ 使得关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - (k^{2} + a) x - 3 > 0$ 的解为 $- 1 < x < 3$ ．

题目SH-078-012

⑶已知关于 $x$ 的二次不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为 $1 < x < 2$ ，则关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集是多少？

题目SH-078-013难度 C · 综合

已知实数 $m$ 满足 $- \frac{1}{4} \leq m \leq 2$ ，求使不等式 $\frac{1}{8} (2 t - t^{2}) \leq m \leq 3 - t^{2}$ 恒成立的 $t$ 的取值范围．

题目SH-078-014难度 C · 综合

已知关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - x + m > 0$ 无解，求 $m$ 的取值范围；若该不等式有解，求 $m$ 的取值范围；若该不等式恒成立，求 $m$ 的取值范围．

题目SH-078-015难度 C · 综合

已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ ，一次函数 $y = k (x - 1) - \frac{k^{2}}{4}$ ，若它们的图像对于任意的非零实数 $k$ 都只有一个公共点，则 $a =_______$ ， $b =_______$ ．

题目SH-078-016难度 D · 提升

⑴已知二次函数 $y = x^{2} + (a + 1) x + b$ （ $a, b$ 为常数）.当 $x = 3$ 时， $y = 3$ ；当 $x$ 为任意实数时，都有 $y \geq x$ ，则抛物线的顶点到原点的距离是.

⑵二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 有最大值 $18$ ，若关于 $x$ 的方程 $| a x^{2} + b x + c | = t$ 最多有三个不相等的实数根，则 $t$ 的取值范围是.

⑴若抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + (a + 2)$ 的图像全在 $x$ 轴的上方，则 $a$ 的取值范围是 $______________$ ．

⑵已知关于 $x$ 的函数 $y = (m - 1) x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} m$ 的图象与坐标轴有且只有 $2$ 个交点,则 $m$ 的值

为.

题目SH-078-017

当 $m$ 分别为何值时，一次函数 $y = 2 x + m$ 与二次函数 $y = x^{2} + m x + 5$ 的图像只有一个交点？有两个交点？无交点？
试讨论 $y = (k^{2} - 1) x^{2} - (3 k - 1) x + 2$ 的图像与 $x$ 轴交点的情况．
解下列一元二次不等式：

⑴ $x^{2} - 5 x + 4 \geq 0$ ； ⑵ $3 x^{2} + 5 x - 2 < 0$ ；

⑶ $- x^{2} + 7 x - 6 > 0$ ； ⑷ $x^{2} - 4 \geq 5$ ；

⑸ $x^{2} - x - 3 < 0$ ； ⑹ $x^{2} + 2 x + 4 > 0$ ；

⑺ $- x^{2} + x - 3 > 0$

题目SH-078-018

有两条抛物线 $y = a x^{2} (a > 0), y = m x^{2} + n x (m < 0)$ ，抛物线 $y = m x^{2} + n x$ 的顶点在 $y = a x^{2}$ 上，且与 $x$ 轴交于 $(0, 0), (4, 0)$ 两点，则不等式 $(a - m) x^{2} - n x < 0$ 的解集是 $____________$ ．
已知不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}$ ，

⑴求出 $a$ 、 $b$ 的值；⑵求 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集．