第2讲 有理数（二）

下列说法中，正确的个数为（）

① 对于任何有理数$m$，都有$m^2>0$；

② 对于任何有理数$m$，都有$m^{2020}={\left(-m\right)}^{2020}$；

③ 对于任何有理数$m$，都有$m^3={\left(-m\right)}^3$；

④ 对于任何有理数$m$、$n$$\left(m\ne n\right)$，都有${\left(m-n\right)}^2>0$．

A．$1$ ； B．$2$； C．$3$； D．$0$．

计算：

⑴ ${(-3)}^2-(-3^2)+(-2^3)-{(-2)}^3$； ⑵ $-\frac{3^3}{2}-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3$；

⑶ $-2^2-\left|-3\right|\times \left(-\frac{1}{3}\right)+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times 0$；

⑷ $-{\left(-3\right)}^2-\left(-1\frac{1}{2}\right)\times \frac{2}{3}-6÷{\left|-\frac{1}{2}\right|}^3$；

⑸ ${\left(-3\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{4}{13}\times \left(-6.5\right)+\left(-28\right)÷{\left(-3\right)}^2$．

⑴ $\left(-15\frac{2}{3}\right)+\left[13\frac{2}{3}-\left|-4\frac{2}{15}\right|+\left(-4\frac{1}{5}\right)\right]$；

⑵ $[(-2)\times (-\frac{4}{3})+{(-2)}^3]-3^4+(-27)$；

⑶ $6\frac{1}{2}\times {(-2)}^4÷[{(-2)}^3-{(-2)}^2-2^2]÷(-\frac{4}{3})$；

⑷ $-2^2+{(-2)}^4\times {(\frac{1}{2})}^3-|-0.08|÷{(-\frac{1}{10})}^2$．

计算：

⑴ $-0.375\times \left(-5\frac{1}{7}\right)-\frac{3}{8}\times \frac{26}{7}+0.123\times \left(-1\frac{3}{7}\right)-0.252\times \frac{10}{7}$；

⑵ $\frac{-1\times 2\times 3+2\times 4\times 6-3\times 6\times 9+\cdots +10\times 20\times 30}{3\times 4\times 5-6\times 8\times 10+9\times 12\times 15-\cdots -30\times 40\times 50}$；

⑶ $\left(\frac{1}{2}-1\right)\times \left(\frac{1}{3}-1\right)\times \left(\frac{1}{4}-1\right)\times \left(\frac{1}{5}-1\right)\times \cdots \times \left(\frac{1}{100}-1\right)$．

科学记数法

科学记数法：把一个数表示成$a\times 10^n$的形式（其中$1\le |a|<10$，$n$是整数），称为科学记数法．

如：$10200000=1.02\times 10^7$就是科学记数法表示数的形式．

近似数：与实际非常接近的数．常用四舍五入、有效数字法来表示一个近似数的精确度．

有效数字：从一个数的左边第一个非$0$数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．

精确数位：看近似数末尾在哪一位，若有科学记数法和文字单位先还原，再看数位．

例如：$0.0002$，精确到万分位或$0.0001$

$4.80\times 10^4=48000$，精确到百位

⑴ 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，$1$个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，记$149600000$千米，用科学记数法表示为_________________米．

⑵ 改革开放以来，我国国内生产总值由$1978$年的$3645$亿元增长到$2019$年的$\text{9}\text{9}\text{0}\text{8}\text{6}\text{5}$亿元．将$\text{9}\text{9}\text{0}\text{8}\text{6}\text{5}$亿元用科学记数法表示应为_______________元，保留两个有效数字结果为__________元，精确到万亿元结果为____________元（用科学计数法表示）．

化学从初三加入学生的课程，同学们对这个新学科非常感兴趣．化学元素中的二价镁离子$Mg2+$的半径为$0.000000000072$米，将数据$0.000000000072$用科学记数法表示为．

将一个数$a$四舍五入，精确到$0.01$所得的近似数为$4.05$，则$a$的取值范围是___________．

⑴ $4.8\times 10^4$精确到_________位；$35.003$万精确到_________位．

⑵ $587600$保留$3$位有效数字为_________；$587$万保留$2$位有效数字为_________．

⑶ 近似数$2.0$万精确到_________位，有_________个有效数字．

⑷ 近似数$-6.800\times 10^4$精确到_________位，有_________个有效数字．

⑸ 将各数取近似值：

$73.72$（精确到十分位）_________；

$1.967$（精确到$0.1$）_________．

$479651$（精确到百位）_________；

$0.035741$（精确到万分位）_________．

有理数的大小比较

比较大小：

⑴ $\frac{3}{11}()\frac{4}{15}$； ⑵ $\frac{17}{33}()\frac{50}{121}$； ⑶ $\frac{12}{17}()\frac{21}{26}$； ⑷ $\frac{27}{29}()\frac{14}{15}$．

⑴ 比较$-\frac{2}{3}$，$-\frac{3}{4}$，$-\frac{17}{18}$，$-\frac{35}{36}$的大小；

⑵ 比较$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{15}{23}$，$\frac{10}{17}$，$\frac{12}{19}$的大小；

⑶ 比较$\frac{11}{222}$、$\frac{111}{2222}$和$\frac{11+111}{222+2222}$的大小．

若$A=\frac{\text{2}\text{0}\text{2}\text{0}}{\text{2}\text{0}\text{2}\text{1}}-\frac{\text{2}\text{0}\text{1}\text{9}}{\text{2}\text{0}\text{2}\text{0}}$，$B=\frac{\text{2}\text{0}\text{1}\text{9}}{\text{2}\text{0}\text{2}\text{0}}-\frac{\text{2}\text{0}\text{1}\text{8}}{\text{2}\text{0}\text{1}\text{9}}$，试比较$A$与$B$的大小．

已知：$A=\frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \cdots \times \frac{199}{200}$,$B=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}\times \cdots \frac{198}{199}$,$C=\frac{1}{10}$,比较$A,B,C$三个数的大小．

太阳的直径约为$1390000$千米，用科学记数法表示为______________米．

$\left\{1+\left[\frac{1}{16}-{\left(-0.75\right)}^3\right]\times {\left(-2\right)}^4\right\}÷\left(-\frac{1}{16}-\frac{3}{4}-0.5\right)$

0．666、$\frac{2}{3}$、60%按从小到大的顺序排列________．

我们将大于$\frac{1}{6}$而小于$\frac{1}{5}$的最简分数称为“顺利分数”．例如$\frac{1}{6}<\frac{2}{11}<\frac{1}{5}$，所以$\frac{2}{11}$是分子为2的顺利分数．请你写出分子为$4$的全部顺利分数_________．

计算：

⑴ $-2^3÷{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2\times \left[-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]$； ⑵ $-6\times \left(-\frac{4}{3^2}\right)÷\left(-\frac{4^2}{5}\right)$．

计算：${\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)}^{2015}\times {\left(\frac{1}{2}+\frac{7}{10}\right)}^{2016}\times {\left(-1\right)}^{2017}$．

计算：

⑴ $\left|1\frac{1}{3}-1\frac{1}{2}\right|÷\left[\frac{1}{3}\times {\left(-3\right)}^2-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2\right]$；

⑵ $-5^2-{\left[-4+\left(-3+0.4\times \frac{5}{2}\right)÷\left(-2\right)\right]}^4$．

⑴ $-3^2+{\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)+\left|-3\right|+{\left(-2\right)}^3$；

⑵ $0.75+\frac{1}{5}÷\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{2}{5}\times \left(-\frac{5}{4}\right)$；

⑶ $-3^2\times \frac{1}{3}-\left[{\left(-5\right)}^2\times \left(-\frac{3}{5}\right)-240÷\left(-4\right)\times \frac{1}{4}-2\right]$；

⑷ $\left|4\frac{1}{2}+\left[-{\left(-5\right)}^2\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^2-0.8\right]\right|÷5\frac{2}{3}$．

用四舍五入法，按要求取近似值：

⑴ 地球上七大洲的面积约为$149480000 k{m}^2$（保留$2$个有效数字）；

⑵ 小明身高$1.595 m$（保留$3$个有效数字）；

⑶ 人的眼睛可以看见的红光的波长为$0.000077 cm$（精确到$0.00001 cm$）；

⑷ $2.56$万（精确到万位）．

比较大小：

⑴$\frac{5}{6}()\frac{3}{4}$； ⑵$\frac{7}{9}()\frac{8}{11}$； ⑶$\frac{13}{9}()\frac{47}{43}$； ⑷$\frac{12}{99}()\frac{121}{999}$

⑴ 如果$0<a<1$，那么$-a$，$a$，$\frac{1}{a}$之间的大小关系是（）

$A$. $a>-a>\frac{1}{a}$ 　　$B$.$\frac{1}{a}>a>-a$

$C$. $\frac{1}{a}>-a>a$ 　　　　$D$. $-a>a>\frac{1}{a}$

⑵ 如果$a>0$，$b<0$，且$a+b>0$，则$a$，$b$，$-a$，$-b$按从小到大的次序排列为．

⑴ 写出$-\frac{3}{4}$，$-\frac{4}{5}$，$-\frac{5}{6}$，$-\frac{7}{8}$的大小顺序．

⑵ 若$a=\frac{2020}{2021}$，$b=\frac{2021}{2022}$，试不用将分数化小数的方法比较$a$，$b$的大小．

⑶ 设$p=-\frac{1}{12345\times 12346}$，$q=-\frac{1}{12344\times 12346}$，$r=-\frac{1}{12344\times 12345}$，试比较$p$，$q$，$r$的大小．

【有理数】

填空：

⑴ 小于$3$的非负整数是；

⑵ 不小于$-3$的负整数是．

⑶ 在有理数范围内， 最小的正数，最大的负数．（填“存在”或“不存在”）

选择：

⑴ 下列说法中，正确的是（ ）

A．零是整数；B．零是正数；

C．零是负数；D．零既是正数，又是负数．

⑵ 下列说法正确的是（）

A．有最大的负数，没有最小的正数；

B．有最小的负数，没有最大的整数；

C．没有最大的有理数，也没有最小的有理数；

D．有最小的正数和最小的负数．

判断：

⑴ 一个有理数，不是正数就是负数 （ ）

⑵ 自然数都是整数 （ ）

⑶ 比正数小的数都是负数 （ ）

【数轴】

判断：

⑴ 循环小数无法用数轴上的点来表示 （ ）

⑵ 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示 （ ）

选择题：

⑴ 互为相反数是指（ ）

A．意义相反的两个量；

B．一个数的前面添上“－”号所得的数；

C．数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数；

D．只有符号不同的两个数．

⑵ 下列叙述正确的为（）

① $-3$是相反数； ② $-3$和$+3$都是相反数；

③ $-3$是$+3$的相反数； ④ $-3$和$+3$互为相反数；

⑤ $3$是$-3$的相反数； ⑥ 一个数的相反数必定是另一个数．

A．①③⑤B．②④⑥

C．②③④D．③④⑤

【绝对值】

判断题

⑴ 数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大 （ ）

⑵ 两个数，较大的数的绝对值也较大 （ ）

⑶ 正数和负数统称为有理数 （ ）

⑷ 任何有理数都可以表示为$\frac{a}{b}$（$a$、$b$是整数且$b\ne 0$）的形式 （ ）

⑸ 一个数的绝对值不是负数 （ ）

填空题

分别用“一定”、“一定不”、“不一定”三个词中的一个，填入下列括号内：

⑴ 互为相反数的两个数的绝对值（）相等；

⑵ 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数（）相等；

⑶ 负数的绝对值（ ）是正数；

⑷ $\left|-a\right|$和$a$的大小（）相等．

【科学记数法】

选择题：

⑴ 据统计， $2019$年上海市全年接待国际旅游入境者共$89723000$人次，$89723000$用科学记数法表示是（）

A． $8.9723\times 10^6$； B．$8.9723\times 10^7$； C．$8.9723\times 10^8$； D．$8.9723\times 10^9$．

⑵ 下列数据中精确数是（）

A．上海科技馆的建筑面积约$98000$平方米；

B．“小巨人”姚明身高$2.26$米；

C．我国的神州十号飞船有$3$个舱；

D．$2015$年中国国内生产总值（$GDP$）为$676708$亿元．

⑶ $2019$年$8$月$30$日，中国互联网络信息中心发布：截至$2019$年$6$月，中国网民规模达到$8.54$亿（$2012$年$12$月中国网民规模为$5.64$亿），下面关于“$8.54$亿”的说法错误的是（）

A．这是一个精确数；

B．这是一个近似数；

C．$8.54$亿用科学记数法可表示为$8.54\times 10^8$；

D．$8.54$亿已精确到百万位．

⑷ $2008$年$6$月$1$日起全国商品零售场所实行“塑料购物袋有偿使用制度”，截止到$2011$年$5$月底全国大约节约塑料购物袋$6.984$亿个，这个数用科学记数法表示约为（保留两个有效数字）（）．

A．$6.9\times 10^8$； B．$6.9\times 10^9$； C．$7\times 10^8$； D．$7.0\times 10^8$

填空题：

⑴ 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距$410300$千米，用科学记数法表示这个数的近似数，并保留两个有效数字．

⑵ 用科学记数法表示：$1380000$千米=米．

⑶ 如果用四舍五入法并精确到百分位，那么$0.7856\approx$ ．

⑷ 近似数$9.60\times 10^4$的有效数字为．

⑸ 用科学记数法表示甲型$H_5{N}_7$流感病毒的直径$0.000000081=$ ．

⑹ 用科学记数法表示：$-0.00002018=$ ．

计算：

⑴ $\left(-8\right)-4\times \left(-7\right)-\left(-48\right)÷\left(-6\right)$； ⑵ $4-{\left(-2\right)}^3-3^2÷\left(-1\right)$；

⑶ $-2^2-{\left(-2\right)}^2-2^3-{\left(-2\right)}^3$； ⑷$-{\left(-3\right)}^2-\left(-1\frac{1}{2}\right)\times \frac{2}{3}-6÷{\left|-\frac{1}{3}\right|}^3$；

⑸ ${\left(-3\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{4}{13}\times \left(-6.5\right)+{\left(-2\right)}^4÷\left(-6\right)$； ⑹ ${\left(-2\right)}^5÷\left(-6\right)-\frac{4}{17}\times \left(-8.5\right)-{\left(-3\frac{1}{3}\right)}^2$；

⑺ $-240\times \left(-3\frac{1}{2}-2\frac{2}{3}+10\frac{7}{12}-4\frac{5}{6}\right)$； ⑻ $\left(\frac{7}{9}-\frac{5}{6}+\frac{3}{4}-\frac{7}{18}\right)\times \left(-36\right)$ ．

计算：

⑴ $\left(-2\frac{4}{7}\right)÷\left(2\frac{2}{3}\right)\times \left(-2.8\right)$； ⑵ $25\times \frac{3}{4}+\left(-25\right)\times \frac{1}{2}+25\times \left(-\frac{1}{4}\right)$；

⑶ ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2÷{\left(-\frac{1}{2}\right)}^4\times {\left(-1\right)}^6-\left(1\frac{3}{8}+1\frac{1}{3}-2\frac{3}{4}\right)\times 48$； ⑷ $-\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{8}-\frac{1}{6}+\frac{7}{12}\right)\times 24$；

⑸ $-1^{2020}-\left(1-\frac{1}{2}÷3\right)\times \left|3-{\left(-3\right)}^2\right|$； ⑹ $0.25\times {\left(-2\right)}^2-\left[4÷{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+1\right]$；

⑺ $\left(-\frac{5}{8}-\frac{7}{12}\right)÷3\frac{5}{8}-\left(-2\frac{2}{3}\right)$； ⑻ $7\frac{3}{4}+\left(-5\frac{4}{11}\right)-\left(-3\frac{1}{4}\right)+\left(6\frac{7}{11}\right)$；

⑼ $\left|\frac{4}{3}-\frac{3}{2}\right|+\left[\frac{1}{2}\times 2^2-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2\right]$ ； ⑽ $-1\frac{2}{3}\times \left(0.5-\frac{2}{3}\right)÷\frac{9}{10}$．

计算：

⑴ $-3^3-\left[-5-0.2÷\frac{4}{5}\times {\left(-2\right)}^2\right]$； ⑵ $-3^2+1÷4\times \frac{1}{4}-\left|-1\frac{1}{4}\right|\times {\left(-0.5\right)}^2$；

⑶ $\left(-\frac{6}{29}\right)\times \frac{4}{5}+\frac{20}{29}\times \left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{1}{5}\times \frac{12}{29}$； ⑷ $-4÷0.5-\left[-\frac{1}{5}+\left(1-\frac{1}{3}\times 0.6\right)÷{\left(-2\right)}^2\right]$；

⑸ $54\times \left(-\frac{2}{3}\right)÷\left(-3\right)+{\left(-2\right)}^3÷0.25$； ⑹ $\left(-\frac{7}{11}\right)\times \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)\times \frac{11}{3}÷\left(-\frac{7}{6}\right)$；

⑺ $-{\left(-3\right)}^2÷\left(-1\frac{1}{2}\right)+\left|0.25-\frac{3}{8}\right|\times \left(-2^4\right)-{\left(-1\right)}^{2020}$； ⑻ $-2^2-{\left(-5\right)}^2\times \frac{1}{25}-\left(-2\frac{2}{3}\right)÷1\frac{2}{3}$；

⑼ $-1^6+\left(-8\right)\times \left[\frac{1}{2}+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^3\right]$； ⑽ $\left(-1\frac{2}{3}\right)÷\frac{5}{6}-9\times \left(-\frac{6}{5}\right)-2\frac{1}{3}\times 1.2$．