第10讲一模易错题 · 章法数学

题目SH-151-001

⑴如图所示是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）

$A$ $a c < 0$ $B$ 抛物线的对称轴为直线 $x = 1$

$C$ $a - b + c = 0$ $D$ 点 $(- 2, y_{1})$ 和 $(2, y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ .

⑵已知点 $A (1, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 1)$ ，那么抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 可以经过的点是（）

$A$ 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ； $B$ 点 $A$ 、 $B$ ； $C$ 点 $A$ 、 $C$ ； $D$ 点 $B$ 、 $C$ .

⑴将抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ 平移后与抛物线 $y = 2 x^{2}$ 重合，那么平移的方法可以是（）

$A$ 向右平移 $1$ 个单位，再向上平移 $3$ 个单位； $B$ 向右平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位；

$C$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $3$ 个单位； $D$ 向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $3$ 个单位.

⑵如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”.现将抛物线 $C_{1} : y = {(x - 1)}^{2} - 1$ 向右平移得到新抛物线 $C_{2}$ ，如果“平衡点”为 $(3, 3)$ ，那么新抛物线 $C_{2}$ 的表达式为________ .

⑶当两条曲线关于某直线 $l$ 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线 $l$ 的对称曲线．如果抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 2 x$ 与抛物线 $C_{2}$ 是关于直线 $x = - 1$ 的对称曲线，那么抛物线 $C_{2}$ 的表达式为________．

⑴下列说法中，错误的是（）

A．长度为 $1$ 的向量叫做单位向量；

B．如果 $k \neq 0$ ，且 $\vec{a} = \vec{0}$ ，那么 $k \vec{a}$ 的方向与 $\vec{a}$ 的方向相同；

C．如果 $k = 0$ 或 $\vec{a} = \vec{0}$ ，那么 $k \vec{a} = \vec{0}$ ；

D．如果 $\vec{a} = \frac{5}{2} \vec{c}$ ， $\vec{b} = - \frac{1}{2} \vec{c}$ ，其中 $\vec{c}$ 是非零向量，那么 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ．

⑵过 $△ A B C$ 的重心作 $D E ∥ B C$ ，分别交 $A B$ 于点 $D$ ， $A C$ 于点 $E$ ，如果 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{D E} =$ ________．

⑶在 $△ A B C$ 中，点 $G$ 是重心， $∠ B G C = 90 °$ ， $B C = 8$ ，那么 $A G$ 的长为________.

⑴一个小球由地面沿着坡度 $1 : 2$ 的坡面向上前进了 $10$ 米，此时小球距离地面的高度为________米．

⑵在坡度为 $1 : \sqrt{3}$ 的坡地上种树，要求株距（相邻两棵树的水平距离）为 $5 \sqrt{3}$ 米，那么两树间的坡面距离为________米．

题目SH-151-002

⑶如图，是将一正方体货物沿坡面 $A B$ 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度 $B C$ 为 $2.6$ 米，斜坡 $A B$ 的坡比为 $1 : 2.4$ ，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点 $D$ 与 $C$ 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度 $B D$ 不能超过________米．

题目SH-151-003

⑴若线段 $A B$ 长为 $2 c m$ ， $P$ 为 $A B$ 的黄金分割点，则线段 $A P =$ ________．

⑵如图，点 $M$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 的中点，联结 $A M$ ，将 $B M$ 沿某一过 $M$ 的直线翻折，使 $B$ 落在 $A M$ 上的 $E$ 处，将线段 $A E$ 绕 $A$ 顺时针旋转一定角度，使 $E$ 落在 $F$ 处，如果 $E$ 在旋转过程中交 $A B$ 于 $G$ ，当 $E F = B G$ 时，旋转角 $∠ E A F$ 的度数是________．

题目SH-151-004

⑴已知 $α$ 、 $β$ 均为锐角，且满足 $| s i n α - \frac{1}{2} | + \sqrt{{(t a n β - 1)}^{2}} = 0$ ，则 $α + β =$ ________．

⑵ ${(- 2)}^{3} + \frac{1}{3} \times {(2015 + π)}^{0} - | - \frac{1}{3} | + t a n^{2} 60 ° =$ ________．

⑶在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，有一个锐角为 $60 °$ ， $B C = 6$ ．若点 $P$ 在直线 $A C$ 上（不与点 $A$ 、 $C$ 重合），且 $∠ A B P = 30 °$ ，则 $C P$ 的长为________．

题目SH-151-005

⑴如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，直线 $D F$ 交边 $A C$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，如果 $C F : C A = a : b$ ，那么 $B E : A E$ 的值为________．（用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示）

⑵如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $A C$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，那么 $△ A B F$ 和 $△ C E F$ 的面积比是________．

题目SH-151-006

⑶如图，矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 翻折后，点 $C$ 落在点 $E$ 处，联结 $C E$ 交边 $A D$ 于点 $F$ ，如果 $D F = 1$ ， $B C = 4$ ，那么 $A E$ 的长等于________．

题目SH-151-007

⑴如图， $A B C D$ 为正方形， $E$ 、 $F$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 的中点， $M$ 为 $D C$ 边上一动点，沿 $B M$ 折叠 $△ B C M$ ，点 $C$ 落在正方形内的点 $P$ 处， $B M$ 与 $E F$ 相交于点 $Q$ ．当点 $P$ 恰好落在 $E F$ 上， $\frac{C M}{D M}$ 的值等于________．

题目SH-151-008

⑵在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B D ⊥ A C$ ．若将 $△ A B C$ 沿直线 $B D$ 翻折，使点 $C$ 落在直线 $A C$ 上的点 $C'$ 处， $A C' = 3$ ，则 $B C =$ ________．

【 $2020$ 浦东】

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $B C$ 、 $A B$ 的中点，将 $△ B D E$ 绕着点 $B$ 旋转，点 $D$ 、 $E$ 旋转后的对应点分别为点 $D'$ 、 $E'$ ，当直线 $D' E'$ 经过点 $A$ 时，线段 $C D'$ 的长为________．

【 $2020$ 杨浦】

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $A B = a$ ，将 $△ A B C$ 沿着斜边 $B C$ 翻折，点 $A$ 落在点 $A_{1}$ 处，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $A C$ 、 $B C$ 的中点，联结 $D E$ 并延长交 $A_{1} B$ 所在直线于点 $F$ ，联结 $A_{1} E$ ，如果 $△ A_{1} E F$ 为直角三角形时，那么 $a =$ ________．

⑴ 如果在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $B C = 2$ ，那么顶角的正弦值为________．

⑵ 等腰三角形的两条边分别为 $5$ 、 $6$ ，则此三角形底角的余弦值为________．

⑴在矩形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则向量 $(\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{A C})$ 的长度为________．

题目SH-151-009

⑵已知：四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $D C$ 的中点， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ ________．

题目SH-151-010

已知：在 $□ A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 中点， $G$ 是对角线 $A C$ 上一点，且 $A G : G C = 1 : 5$ ， $E G$ 的延长线交 $A D$ 于 $F$ ，则 $D F : F A =$ ________．

题目SH-151-011

如图，已知 $△ A B C$ 、 $△ C D E$ 、 $△ E F G$ 、 $△ G H I$ 是 $4$ 个全等的等腰三角形，底边 $B C$ 、 $C E$ 、 $E G$ 、 $G I$ 在同一直线上，且 $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，联结 $A I$ ，交 $F G$ 于点 $Q$ ，则 $Q I =$ ________．

计算：⑴ $\frac{2 s i n^{2} 60 ° - c o s 60 °}{c o t^{2} 30 ° - 4 c o s 45 °}$ ；

⑵ $\frac{1}{2 s i n 45 ° - 1} - 2 \sqrt{{(1 - c o t 30 °)}^{2}} + s i n^{2} 60 ° + c o s^{2} 60$ ；

题目SH-151-012

⑶ ${(π - 3)}^{0} + \sqrt{18} - 2 s i n 45 ° - {(\frac{1}{8})}^{- 1} + \frac{t a n 45 °}{s i n 60 ° - c o s 45 °}$ ；

⑷ $\frac{2 s i n^{2} 30 ° + t a n 60 ° \cdot t a n 30 ° + s i n^{2} 60 °}{c o s^{2} 45 ° + c o t 60 ° \cdot c o s 30 °}$ ．

如图，某地下车库的入口处有斜坡 $A B$ ，它的坡度为 $i = 1 : 2$ ，斜坡 $A B$ 的长为 $6 \sqrt{5}$ 米，车库的高度为 $A H$ ( $A H ⊥ B C$ )，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 $14 °$ （图中的 $∠ A C B = 14 °$ ）．

⑴ 求车库的高度 $A H$ ；

⑵ 求点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离（结果精确到 $1$ 米）．（参考数据： $s i n 14 ° = 0.24$ ， $c o s 14 ° = 0.97$ ， $t a n 14 ° = 0.25$ ， $c o t 14 ° = 4.01$ ）

一个三角形的三条中线所构成的三角形的面积与原三角形面积之比为________．

题目SH-151-013

【 $2020$ 徐汇一模】

如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 3$ ， $A D ＝ 4$ ，将矩形 $A B C D$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转后得到矩形 $A' B C' D'$ ，点 $A$ 的对应点 $A'$ 在对角线 $A C$ 上，点 $C$ 、 $D$ 分别与点 $C'$ 、 $D'$ 对应， $A' D'$ 与边 $B C$ 交于点 $E$ ，那么 $B E$ 的长是________．