代数4-整式、分式、因式分解 · 第 044 讲

第20讲因式分解综合

15 道题5 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

因式分解复习

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

提取公因式

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．

技巧：“一次提净、视多为一、切勿漏 $1$ 、注意符号”

知识模块 02 · 原讲小节

公式法

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知识讲解定义、性质与方法

逆用乘法公式将一个多项式分解因式

十字相乘法、双十字相乘法

十字相乘法

例：将二次三项式 $k x^{2} + p x + q$ 分解因式：

若 $k = a c$ ， $q = b d$ ， $p = a d + b c$ 时， $k x^{2} + p x + q = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

可以用十字交叉线表示：

$a x$ $+ b$

$c x$ $+ d$

双十字相乘法

适用范围：双十字相乘法适用于对形如 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F$ 的二次多项式进行因式分解.
条件：① $A = a_{1} a_{2}$ ， $C = c_{1} c_{2}$ ， $F = f_{1} f_{2}$ ；② $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1} = B$ ， $c_{1} f_{2} + c_{2} f_{1} = E$ ， $a_{1} f_{2} + a_{2} f_{1} = D$

即： $a_{1} x$ $c_{1} y$ $f_{1}$

$a_{2} x$ $c_{2} y$ $f_{2}$

则 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F =$ $(a_{1} x + c_{1} y + f_{1}) (a_{2} x + c_{2} y + f_{2})$

分组分解法

例：分解因式： $a x + a y + b x + b y = (a x + a y) + (b x + b y) = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$

拆项、添项

例：分解因式： $a^{3} - 4 a + 3 = (a^{3} - a) + (- 3 a + 3)$ $= a (a^{2} - 1) - 3 (a - 1)$ $= (a - 1) (a^{2} + a - 3)$

知识模块 03 · 原讲小节

配方法

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知识讲解定义、性质与方法

原理：配方主要是配中间项 $2 a b$ ，或配一个平方项 $b^{2}$ （或 $a^{2}$ ）．

应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式 $A^{2} - B^{2}$ 的形式，使多项式可分解为 $(A - B) (A + B)$ 的形式．

换元法

换元法是数学中的一种重要方法，它可以使复杂的、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问题，从而用较简单或熟悉的方法来解决问题.在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用.

“换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式，是一种整体思想.换元法又称设辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展.

以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式法及运用公式法等常用方法分解因式时，已运用过这一数学思想，只不过那时解题过程比较简单，虽未引入新的“元”，也不会引起混乱. 而处理一些比较复杂的问题时，将引进的新“元”写出，这样层次比较清晰.

主元法

有多个字母的代数式时，选取其中一个字母（一般选最高次为 $2$ 的）为“主元（未知数）”，将其它字母看成“常数”，使之出现我们所熟悉的问题．之后将代数式整理成关于主元的降幂排列（或升幂排列）的多项式，再尝试用其它的基本方法（大多数情况为十字相乘）进行分解．

知识模块 04 · 原讲小节

因式定理

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知识讲解定义、性质与方法

若多项式 $f (x)$ 有一个因式 $(x - a)$ ，则 $f (a) = 0$ ；反之，如果 $f (a) = 0$ ，则 $(x - a)$ 必为多项式 $f (x)$ 的一个因式.

试根法

对整系数多项式 $f (x)$ 进行因式分解时，根据因式定理，若能找到方程 $f (x) = 0$ 的根 $x = q$ （或 $x = \frac{q}{p}$ ），即找到了 $f (x)$ 的一个因式 $(x - q)$ 或 $(p x - q)$ . 剩余部分可用长除法来求得.

待定系数法

待定系数法是解决关于恒等式题目的常用方法，特点是先找到一个恒等式，其中含有待定的系数，然后根据恒等式的性质列出一个或几个方程，解这个方程或方程组，求出各待定系数的值，从而使问题得到解决.

确定待定系数主要是利用恒等的概念和定理，主要方法有系数比较法和赋值法.

附：因式分解常用公式

平方差公式： $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
完全平方和公式： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

完全平方差公式： $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

立方和公式： $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

立方差公式： $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

三项完全平方公式： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c = {(a + b + c)}^{2}$
完全立方和公式： $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = {(a + b)}^{3}$

完全立方差公式： $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = {(a - b)}^{3}$

欧拉公式： $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ $= (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

特别地： ①当 $a + b + c = 0$ 时，有 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ .

②当 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ 时，有 $a + b + c = 0$ 或 $a = b = c$ .

题目SH-044-001难度 B · 巩固

分解因式：

⑴ $9 a b^{2} (x - y) + 6 a^{2} b (x - y) - a^{3} (y - x)$

⑵ $4 x^{2} y^{2} - {(x^{2} + y^{2} - z^{2})}^{2}$

⑶ ${(x^{2} + x)}^{2} - 8 x - 8 x^{2} + 12$

题目SH-044-002难度 B · 巩固

分解因式： ${(1 + y)}^{2} - 2 x^{2} (1 + y^{2}) + x^{4} {(1 - y)}^{2}$

题目SH-044-003难度 C · 综合

分解因式：

⑴ $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ ⑵ $2 x^{3} - 3 x^{2} - x + 1$

题目SH-044-004难度 C · 综合

分解因式：

⑴ $x^{4} + 324$ ⑵ $6 x^{4} + 7 x^{3} - 36 x^{2} - 7 x + 6$

题目SH-044-005难度 C · 综合

分解因式：

⑴ ${(a + b)}^{2} + 5 (a + b) (c - b) + 2 {(c - b)}^{2} + {(a + c)}^{2}$

⑵ ${(a + b)}^{2} - 2 (a + c) (a + b) + 3 {(c - b)}^{2}$

知识模块 05 · 原讲小节

因式分解应用

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题目SH-044-006难度 E · 挑战

证明： $2016 \times 2017 \times 2019 \times 2020 + 201 8^{2}$ 是一个完全平方数.

题目SH-044-007难度 C · 综合

计算： $\frac{2222 3^{3} + 1111 2^{3}}{2222 3^{3} + 1111 1^{3}}$ .

题目SH-044-008难度 C · 综合

已知 $a$ 是自然数，且 $a^{4} - 4 a^{3} + 15 a^{2} - 30 a + 27$ 的值是一个质数，求这个质数.

题目SH-044-009难度 D · 提升

计算： $\frac{(1 0^{4} + 324) (2 2^{4} + 324) (3 4^{4} + 324) (4 6^{4} + 324) (5 8^{4} + 324)}{(4^{4} + 324) (1 6^{4} + 324) (2 8^{4} + 324) (4 0^{4} + 324) (5 2^{4} + 324)}$

分解因式： $(x^{2} + x - 4) (x^{2} + x + 3) + 10$
分解因式：

⑴ $x^{4} - 7 x^{2} + 1$

⑵ $a^{4} + 4$

分解因式：

⑴ $x^{4} + 5 x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 1$

⑵ $x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 5$

分解因式：

⑴ $4 x^{3} - 31 x + 15$

⑵ ${(x + y)}^{3} + 2 x y (1 - x - y) - 1$

分解因式：

$(1 - m^{2}) (1 - n^{2}) + 4 m n$

题目SH-044-010

证明： $201 7^{2} + 201 7^{2} \times 201 8^{2} + 201 8^{2}$ 是一个完全平方数.

题目SH-044-011

代数式 $x^{4} - 16$ ， $x^{3} - 8$ ， $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ 的公因式为（）．

A． $x + 2$ B． $x - 2$ C． $x^{2} + 4$ D． $x^{2} - 4$

题目SH-044-012

分解因式： $x^{2} - x y - 2 y^{2} + x + 4 y - 2$ ．
计算： $\frac{201 7^{3} - 2 \times 201 7^{2} - 2015}{201 7^{3} + 201 7^{2} - 2018}$
因式分解： ${(a + b)}^{2} - 2 (a + c) (a + b) + 3 {(c - b)}^{2}$
若 $a$ 是自然数，则 $a^{4} - 3 a^{2} + 9$ 是质数还是合数？给出你的证明.

题目SH-044-013

在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有（）．
① $x^{2} - x - 9$ ； ② $x^{2} + 7 x - 6$ ；③ $2 x^{2} - 3 x y - 5 y^{2}$ ；④ $x^{2} y^{2} - 2 x y - 3$ ．

$1$ 个B． $2$ 个C． $3$ 个D． $4$ 个

题目SH-044-014

分解因式： $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$
计算： $\frac{(1 \times 6 + 6) (3 \times 8 + 6) (5 \times 10 + 6) (7 \times 12 + 6) \dots (2015 \times 2020 + 6)}{(2 \times 7 + 6) (4 \times 9 + 6) (6 \times 11 + 6) (8 \times 13 + 6) \dots (2016 \times 2021 + 6)}$
求证： $8 1^{7} - 2 7^{9} - 9^{13}$ 能被 $45$ 整除．
已知 $n$ 为整数，且 $n^{2} + 2 n + 5$ 为完全平方数，求 $n$ 的值．

题目SH-044-015

分解因式： $(x - 2 y) (3 x + 2 y) + (2 y - x) (2 y - 3 x) - 3 x + 6 y$
计算： $\frac{(201 8^{2} - 2017) \times 2019}{201 8^{2} - 2018 \times 2017 + 201 7^{2}}$
对于任意正整数 $n$ ， $(n + 2017) (n + 2018) (n + 2019) (n + 2020) + 1$ 是完全平方数.
计算： $\frac{(7^{4} + 64) (1 5^{4} + 64) (2 3^{4} + 64) (3 1^{4} + 64) (3 9^{4} + 64)}{(3^{4} + 64) (1 1^{4} + 64) (1 9^{4} + 64) (2 7^{4} + 64) (3 5^{4} + 64)}$
求能使 $m^{2} + m + 4$ 是完全平方数的所有整数 $m$ 的和．