第14讲 分式方程应用题

某项工作甲单独做需$x$天完成，乙单独做需$y$天完成，则甲乙合作需要天合作．

⑴在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队单独做$2$天后，再由乙工程队单独做$3$天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用$2$天，若设甲工程队单独完成任务需$x$天，则可列方程为．

⑵某厂计划在一定日期内制造$60$台机器，实际工作$5$天后，因改进设备停工两天，以后每天比原计划多制造$2$台，结果按期完成任务.若设原来每天制造$x$台，那么$x$所满足的方程为.

完成一项工程，若甲工程队单独施工，恰好可以在规定日期完成，乙工程队单独施工，要超过规定日期三天才能完成.现在先让甲乙合作两天，剩下的工程由乙队独做，恰好也能在规定日期完成.问规定日期是多少天？

经济问题

$利润\text{=}售价-成本$，$利润率\text{=}\frac{利润}{成本}\times 100\%$

“母亲节”前夕，某花店用$4000$元购进若干束花，很快售完，接着又用$4500$元购进第二批花，已知第二批所购的花的束数是第一批所购花束数的$1.5$倍，且每束花的进价比第一批的进价少$5$元，求第一批花每束的进价是多少元？

某厂商销售一款商品，每个售价$100$元.后来，该商品的进价降低了$10$元，但贪心的老板仍然按照原价进行销售，使得该商品的利润率提升了$50$个百分点.这种商品原来的进价是多少元？

某校办工厂将总价值为$2000$元的甲种原料与总价值为$4800$元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每斤少$3$元，比乙种原料每斤多$1$元，问混合后的单价每斤是多少元？

浓度问题

$溶液\text{=}溶质\text{+}溶剂$

$浓度\text{=}\frac{溶质}{溶液}\times 100\%$

比如：如果把$10g$盐溶解在$90g$水中，那么盐水的浓度就是$\frac{10}{10+90}\times 100\mathrm{\%}=10\mathrm{\%}$

要将含盐$15％$的盐水$20$千克，变为含盐$20％$的盐水，需加入盐多少千克？

用若干克$5\mathrm{\%}$的盐水，蒸发了一些水分后变成了$15\mathrm{\%}$的盐水．再加进$300$克$8\mathrm{\%}$盐水，混合变为$12\mathrm{\%}$的盐水，问最初的盐水是多少克？

行程问题

$s=vt$， $v_{顺}=v_{船}+v_{水}$， $v_{逆}=v_{船}-v_{水}$， $v_{船}=\frac{v_{顺}+v_{逆}}{2}$， $v_{水}=\frac{v_{顺}-v_{逆}}{2}$

已知$A、B$两地相距$40$$km$，甲骑自行车从$A$地出发$1$小时后，乙也从$A$地出发用相当于甲的$1.5$倍的速度追赶，当追到$B$地时，甲比乙先到$20$分钟，求甲、乙两人的速度．　

轮船在一次航行中顺流航行$105km$，逆流航行$60km$，共用了$9$小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行$84km$，逆流航行$75km$，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．

从甲地到乙地的路程是$15$千米，$A$骑自行车从甲地到乙地，$A$先走$40$分钟后，$B$乘汽车从甲地出发，结果与$A$同时到达乙地．已知$B$的速度是$A$的速度的$3$倍，求两车的速度．

甲、乙两车从$A$地前往相距$120$千米的$B$地，甲车的速度是乙车的$1.5$倍，乙车比甲车早出发$1$小时，乙车到达$B$地$20$分钟后甲车才到，求甲、乙两车各自的速度．（列分式方程解应用题）

某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区$3600$名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的$2$倍，结果李某比王某少用$2$小时输完．问王某每分钟能输入多少名学生的成绩？

（列方程解应用题）要在规定日期内加工一批产品，如果甲单独做，则比规定日期提前$2$天完成；如果乙单独做，则要超过$4$天期限。现在甲、乙两人合作$3$天后，再由乙单独做，正好如期完成。问规定日期是多少天？

1. 某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的$2$倍；甲、乙两队合作完成工程需要$20$天；甲队每天的工作费用为$1000$元、乙队每天的工作费用为$550$元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队，应付工程队费用多少元？

2. 近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，$24$天可以完成，需费用$120$万元；若甲单独做$20$天后，剩下的工程由乙做，还需$40$天才能完成，这样需要费用$110$万元，问：

一项工程，若甲队承包刚好在规定日期内完成，乙队承包则要超过$3$天完成，结果甲乙两队合作$2$天，剩下部分由乙队单独做，刚好在规定日期内完成.设规定日期为$x$天，则应列出的方程为（）.

A.$\frac{2}{x}+\frac{x}{x+3}=1$；B.$\frac{2}{x}+\frac{x-2}{x+3}=1$;C.$\frac{x+2}{2x+3}=1$;D.$\frac{x}{2}+\frac{5}{x+3}=x$

2. 有三堆数量相同的钢材，用小卡车单独运第一堆钢材的次数是大卡车单独运第二堆钢材次数的$1.5$倍.由大、小卡车同时运第三堆钢材，各运$6$次，正好运了一半.问：大、小卡车单独运一堆钢材各需多少次?

3. 某商品销售价格为$198$元，由于成本降低了$10\mathrm{\%}$,使得利润率比原来提高了$50\mathrm{\%}$.问该商品原有成本是多少？

4. 甲、乙两人分别从相距$9$千米的$A、B$两地同时出发，相向而行，$1$小时后相遇.相遇后各自继续以原来速度前进.已知甲到$B$地比乙到$A$地早$27$分钟，求两人的速度是多少？

5. 用水清洗蔬菜上残留的农药，设用$x$（$x\ge 1$）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为$\frac{1}{1+x}$．现有$a$（$a\ge 2$）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．

6. 甲杯中装有含盐$20\mathrm{\%}$的盐水$40$千克,乙杯中装有含盐$40\mathrm{\%}$的盐水$60$千克,现在从甲杯中取出一些盐水放入丙杯,再从乙杯中取出一些盐水放入丁杯,然后丁杯盐水全部倒入甲杯,把丙杯盐水全倒入乙杯,结果甲、乙两杯成为含盐浓度相同的两杯盐水.若已知从乙杯取出并倒入丁杯的盐水重量是从甲杯取出倒入丙杯盐水重量的$6$倍,试确定从甲杯取出并倒入丙杯的盐水是多少千克?

7. 甲、乙两人分别从$A$、$B$两地同时出发相向匀速行走，$t$小时后相遇于中途的$C$地，此后甲用$8$小时从$C$走到$B$，乙用$2$小时从$C$走到$A$，求$t$的值．

8. 在一次骑车比赛中，有三辆汽车在起点处同时同向出发，其中第二辆车每小时比第一辆车少走$5$千米，而比第三辆车多走$7.5$千米；第二辆车到达终点比第一辆车晚$3$分钟，而比第三辆车早到$5$分钟，假设它们在路上都没有停过：

⑴第二辆车的速度是每小时多少公里？
⑵比赛的路程是多少公里？