代数4-整式、分式、因式分解 · 第 036 讲

第13讲分式方程初步

20 道题3 个知识模块答案解析精校中

本讲答案与解析正在逐题精校，完成后在题卡下方开放。当前请先独立作答，再回来对照。

知识模块 01 · 原讲小节

分式方程

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

⑴定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

⑵方程的根：一元方程的解也叫做方程的根（root）.

知识模块 02 · 原讲小节

⑶解分式方程的步骤

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

①去分母（一般需因式分解确定最简公分母），化为整式方程．

②解整式方程（去括号，移项，合并同类项，系数化为 $1$ ……）．

③验根:检验所得整式方程的根是否为增根．

增根的定义：在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根叫做原分式方程的增根（extraneous root）．

分式方程必须验根的原因：分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围（分式方程中分母不等于零，而整式方程无此限制），所以解分式方程必须检验．

验根方法：只需将整式方程的根代入原分式方程的分母，看是否使分母为零（或直接代入最简公分母）．如为零，则为增根，需舍去；如不为零，则为原分式方程的根．

增根需满足的两个条件为：①是去分母后整式方程的解；③使原分式方程中的分母为零．

题目SH-036-001难度 B · 巩固

解方程： $\frac{2}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{3}{x^{2} - x - 6} = \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

题目SH-036-002难度 B · 巩固

$\frac{x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} = 1 - \frac{x - 14}{x^{2} + 2 x - 8}$

题目SH-036-003难度 C · 综合

⑴若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{a x}{x^{2} - 1}$ 有增根，则 $a =$ （）

A. $2$ B. $4$ C. $2$ 或 $4$ D. $2$ 或 $4$ 或 $3$

⑵已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{a x}{x^{2} - 4}$ 无解，则 $a$ 的值为.

题目SH-036-004难度 C · 综合

若关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{x} - \frac{a}{x + 5} = \frac{5}{x^{2} + 5 x}$ 的解为负数，则 $a$ 的取值范围为.

知识模块 03 · 原讲小节

分式方程进阶（一）

按原讲小节整理；知识模块与题目边界正在精校，精校完成后按正式课程结构呈现。

知识讲解定义、性质与方法

编者寄语：分式方程的解题方法有很多，但由于秋季班还有一讲分式方程，所以本讲将重点放在训练分式中最重要的两个基础能力：分离和裂项，这对以后分式恒等变形甚至根式方程都有很大帮助。至于 $x + \frac{1}{x}$ 类型的方程以及换元法等方法准备留在秋季班详细讲解。

题目SH-036-005难度 C · 综合

解方程： $\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 5}{x - 4} = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 4}{x - 3}$

题目SH-036-006难度 C · 综合

解方程： $\frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 2} = \frac{x^{2} + 4 x + 5}{x + 3} - 2$

题目SH-036-007难度 B · 巩固

解方程： $\frac{1}{x^{2} + x} + \frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{1}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{4}{5 x}$

题目SH-036-008难度 C · 综合

解方程： $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} + \dots + \frac{1}{(x + 2019) (x + 2020)} = \frac{2 x + 4037}{3 x + 6060}$

题目SH-036-009难度 D · 提升

解方程： $\frac{4 x + 2}{4 x^{2} + 8 x + 1} = \frac{6 x + 5}{6 x^{2} + 14 x + 6}$

题目SH-036-010

已知分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 有增根，那么 $m =$ ．

题目SH-036-011

如果 $\frac{2}{x - 2} + \frac{a}{x - 3} = \frac{3 a + 1}{x^{2} - 5 x + 6}$ 无解，求 $a$ 的值．

题目SH-036-012

解方程： $\frac{4 - x}{2 x - 3} + \frac{x}{3 - 2 x} = 2$

题目SH-036-013

解分式方程： $\frac{3 x + 4}{3 x - 5} + 1 = \frac{4 x + 1}{2 x - 3}$

题目SH-036-014

解方程： $\frac{x}{x - 2} + \frac{x + 6}{4 - x^{2}} = \frac{2 x}{x + 2} - 1$

题目SH-036-015

解方程：

⑴ $\frac{x}{x - 2} - \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{2 x}{x - 3}$ ⑵ $\frac{5 x}{x^{2} + x - 6} + \frac{2 x - 5}{x^{2} - x - 12} = \frac{7 x - 10}{x^{2} - 6 x + 8}$

题目SH-036-016

⑴关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{a x}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$ 有增根，求 $a$ 的值.

⑵已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{m x}{x^{2} - 4} = 0$ 无解，求 $m$ 的值.

题目SH-036-017

若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{m}{x^{2} + x - 2}$ 的解为非正数，求 $m$ 的取值范围.
解方程：

题目SH-036-018

⑴ $\frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 8}{x + 9} = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{x + 7}{x + 8}$ ⑵ $\frac{13 - 2 x}{11 - 2 x} + \frac{17 - 2 x}{15 - 2 x} = \frac{19 - 2 x}{17 - 2 x} + \frac{11 - 2 x}{9 - 2 x}$

解方程：

⑴ $\frac{1}{(x + 10) (x + 11)} + \frac{1}{(x + 11) (x + 12)} + \frac{1}{(x + 12) (x + 13)} + \frac{1}{x + 13} = \frac{1}{14}$

⑵ $\frac{1}{x^{2} - x} + \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} + \frac{1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{x - 3}{x - 4}$

解方程： $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{x - 3} - \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3} = \frac{4}{x^{2} - 9}$

题目SH-036-019

对于关于 $x$ 的方程 $\frac{a^{2}}{x} - \frac{b^{2}}{x} = a - b$ ,下列说法正确的是（）

A.当 $a \neq b$ 时，方程的根是 $a + b$ ;

B.当 $a \neq b$ 时，方程的根是任意不为 $0$ 的实数;

C.当 $a = b$ 时，方程的根是任意实数；

D.当 $a = b$ 时，方程的根是任意不为 $0$ 的实数.

题目SH-036-020

已知关于 $x$ 的方程 $\frac{7 - x}{x - 5} = \frac{m - x}{5 - x} - 1$ 无解，求 $m$ 的值.
$a$ 为何值时，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 a + 1}{x + 1} = a$ 无解？
$p$ 为何值时，关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{x} + \frac{6}{x - 1} - \frac{x + p}{x (x - 1)} = 0$ 有解？
解方程： $\frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 3} = \frac{1}{x - 4} + \frac{4}{x - 1}$
解方程： $\frac{x^{2} + x + 2}{x (x + 1)} + \frac{x^{2} + 3 x + 5}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{2 x + 3}{x + 1}$
解方程： $\frac{3 x^{2} + 9 x + 7}{x + 1} - \frac{2 x^{2} + 4 x - 3}{x - 1} - \frac{x^{3} + x + 1}{x^{2} - 1} = 0$
解关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x + 2} + \frac{a}{x - 5} = \frac{2 a x}{x^{2} - 3 x - 10}$